Question

1．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度．已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，將曲線C₁向左平移一個(gè)單位，再將其橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到曲線C₂．
（1）求曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）過點(diǎn)P（1，2）的直線與曲線C₂交于A、B兩點(diǎn)，求|PA||PB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，化曲線C₁的方程為x²+y²=2x，再由圖象平移的規(guī)律可得曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）設(shè)直線AB為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到最小值，注意檢驗(yàn)．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得曲線C₁的方程為x²+y²=2x，即為（x-1）²+y²=1，
曲線C₁向左平移一個(gè)單位，可得x²+y²=1，
再將其橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）過點(diǎn)P（1，2）的直線方程設(shè)為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入橢圓方程可得（cos²α+4sin²α）t²+（2cosα+16sinα）t+13=0，①
可得|PA|•|PB|=t₁t₂=$\frac{13}{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}$=$\frac{13}{1+3si{n}^{2}α}$，
當(dāng)sinα=1，即cosα=0時(shí)，方程①即為4t²+16t+13=0，△=256-16×13＞0成立，
故|PA|•|PB|的最小值為$\frac{13}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線的參數(shù)方程的運(yùn)用，以及韋達(dá)定理和正弦函數(shù)的最值的運(yùn)用，屬于中檔題．