Question

如圖，已知圓C與y軸相切于點T（0，2），與x軸正半軸相交于兩點M，N（點M必在點N的右側(cè)），且|MN|=3，己知橢圓D：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距等于2|ON|，離心率e=

1

2

；
（1）求圓C和橢圓D的方程；
（2）若過點M斜率不為零的直線l與橢圓D交于A、B兩點，求證：直線NA與直線NB的傾角互補．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件求出圓C的方程為(x-

5

2

)2+(y-2)2=

25

4

，令y=0，得N（1，0），M（4，0），由

2c=2 a= c a = 1 2

，能求出橢圓D的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-4)

，得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

，由此能證明直線AN與直線BN的傾斜角互補．

解答： （1）解：設(shè)圓半徑為r，由題意圓心為（r，2），
∵|MN|=3，∴r2=(

3

2

)2+22=

25

4

，
∴圓C的方程為(x-

5

2

)2+(y-2)2=

25

4

，①
在①中，令y=0，得x=1或x=4，∴N（1，0），M（4，0），
由

2c=2 a= c a = 1 2

，得c=1，a=2，b²=4-2=3，
∴橢圓D的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）證明：設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-4)

，得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，（*）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

，
∵k_NA+k_NB=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=

k(x1-4)

x1-1

+

k(x2-4)

x2-1

=k

(x1-4)(x2-1)+(x2-4)(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

k

(x1-1)(x2-1)

[

2(64k2-12)

3+4k2

-

160k2

3+4k2

+8]=0，
∴k_NA=-k_NB．
當(dāng)x₁=1或x₂=1時，k=±1，
此時，對方程（*），△=0，不合題意．
∴直線AN與直線BN的傾斜角互補．

點評：本題考查圓的方程和橢圓方程的求法，考查兩直線的傾斜角互補的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．