Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的右焦點為F（c，0），M為橢圓的上頂點，O為坐標(biāo)原點，且以焦點和短軸的端點為頂點構(gòu)成邊長為

2

的正方形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且使F為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出b=1，a=

2

b=

2

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）假設(shè)存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且使F為△PQM的垂心設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），設(shè)直線l的方程為y=x+m，由

y=x+m x2+2y2=2

，得3x²+4mx+2m²-2=0，由此能求出存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且使F為△PQM的垂心，直線l的方程為3x-3y-4=0．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的右焦點為F（c，0），
M為橢圓的上頂點，O為坐標(biāo)原點，
且以焦點和短軸的端點為頂點構(gòu)成邊長為

2

的正方形．
∴b=1，a=

2

b=

2

，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）假設(shè)存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且使F為△PQM的垂心
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∵M（0，1），F(xiàn)（1，0），
∴k_MF=-1，∴直線l的斜率k=1，∴設(shè)直線l的方程為y=x+m，
由

y=x+m x2+2y2=2

，得3x²+4mx+2m²-2=0，
由題意知△＞0，即m²＜3，…（7分）
且x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

，
由題意應(yīng)有

MP

•

FQ

=0，又

MP

=(x1，y1-1)，

FQ

=(x2-1，y2)，
∴2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0…（9分）
2×

2m2-2

3

-

4

3

m(m-1)+m2-m=0，解得m=-

4

3

或m=1…（11分）
經(jīng)檢驗，當(dāng)m=1時，△PQM不存在，故舍去m=1，
當(dāng)m=-

4

3

時，所求直線y=x-

4

3

滿足題意，
綜上，存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且使F為△PQM的垂心，
且直線l的方程為3x-3y-4=0．…（14分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．