Question

（1）解不等式|2x-1|+|x+1|≥x+2；
（2）已知x，y，z為正實(shí)數(shù)，求3（x²+y²+z²）+

2

x+y+z

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：柯西不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用,絕對值不等式的解法

專題：選作題,不等式

分析：（1）利用絕對值的幾何意義，去掉絕對值，即可解不等式；
（2）由柯西不等式有（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）≥（x+y+z）²，即可求3（x²+y²+z²）+

2

x+y+z

的最小值．

解答： 解：（1）

x≥ 1 2 3x≥x+2

⇒x≥1或

-1≤x≤ 1 2 1-2x+x+1≥x+2

⇒-1≤x≤0
或

x＜-1 1-2x-x-1≥x+2

⇒x＜-1，
綜上所解得原不等式的解集為{x|x≤0或x≥1}；…5分
（2）由柯西不等式有（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）≥（x+y+z）²
所以3(x2+y2+z2)+

2

x+y+z

≥(x+y+z)2+

2

x+y+z

=(x+y+z)2+

1

x+y+z

+

1

x+y+z

≥3

3	1

=3
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z且(x+y+z)2=

1

x+y+z

，即x=y=z=

1

3

時(shí)取等號(hào)．
故3(x2+y2+z2)+

2

x+y+z

的最小值為3…10分．

點(diǎn)評：本題主要考查了絕對值不等式的解法，以及柯西不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）≥（x+y+z）²進(jìn)行解題，屬于中檔題．