Question

7．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2），離心率為$\sqrt{3}$
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx-$\sqrt{2}$與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞-2（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)出雙曲線的方程，再由已知a和c的值求出b²的值，則雙曲線C的方程可求；
（2）直接聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，化為關(guān)于x的方程后由二次項(xiàng)系數(shù)不等于0且判別式大于0求解k的取值范圍，結(jié)合x₁x₂+y₁y₂＞-2，利用韋達(dá)定理，即可求k的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$，
由已知得c=2，$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$
∴a=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，b²=c²-a²=$\frac{8}{3}$．
∴雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{4}{3}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{8}{3}}=1$；
（2）直線l：y=kx-$\sqrt{2}$與雙曲線聯(lián)立可得（6-3k²）x²+6$\sqrt{2}$kx-14=0，
由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得k²≠2，且k²＜$\frac{7}{2}$①
x₁+x₂=-$\frac{6\sqrt{2}k}{6-3{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{14}{6-3{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞-2，得x₁x₂+y₁y₂＞-2，
而x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂-$\sqrt{2}$k（x₁+x₂）+2=$\frac{-8{k}^{2}-8}{6-3{k}^{2}}$
于是$\frac{-8{k}^{2}-8}{6-3{k}^{2}}$＞-2，
∴$\frac{2}{7}$＜k²＜2，②
由①②得$\frac{2}{7}$＜k²＜2，∴k∈（-$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{14}}{7}$）∪（$\frac{\sqrt{14}}{7}$，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了利用判別式法判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，是中檔題．