Question

10．已知x₁，x₂是函數(shù)f（x）=2sin2x+cos2x-m在[0，$\frac{π}{2}$]內(nèi)的兩個零點，則sin（x₁+x₂）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由題意可得m=2sin2x₁+cos2x₁=2sin2x₂+cos2x₂，運用和差化積公式和同角的基本關(guān)系式，計算即可得到所求值．

解答 解：x₁，x₂是函數(shù)f（x）=2sin2x+cos2x-m在[0，$\frac{π}{2}$]內(nèi)的兩個零點，
可得m=2sin2x₁+cos2x₁=2sin2x₂+cos2x₂，
即為2（sin2x₁-sin2x₂）=-cos2x₁+cos2x₂，
即有4cos（x₁+x₂）sin（x₁-x₂）=-2sin（x₂+x₁）sin（x₂-x₁），
由x₁≠x₂，可得sin（x₁-x₂）≠0，
可得sin（x₂+x₁）=2cos（x₁+x₂），
由sin²（x₂+x₁）+cos²（x₁+x₂）=1，
可得sin（x₂+x₁）=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
由x₁+x₂∈[0，π]，
即有sin（x₂+x₁）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
另解：由對稱性可知$\sqrt{5}$=2sin（x₂+x₁）+cos（x₁+x₂），
由sin²（x₂+x₁）+cos²（x₁+x₂）=1，
由x₁+x₂∈[0，π]，
即有sin（x₂+x₁）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)零點問題的解法，考查三角函數(shù)的恒等變換，同角基本關(guān)系式的運用，屬于中檔題．