Question

19．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，P，Q分別是AA₁，B₁C₁上的點(diǎn)，且AP=3A₁P，B₁C₁=4B₁Q．
（1）求證：PQ∥平面ABC₁；
（2）若AB=AA₁，BC=3，AC₁=3，BC₁=$\sqrt{13}$，求證：平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C．

Answer 1

分析 （1）在BB₁取點(diǎn)E，使BE=3EB₁，連結(jié)PE、QE，推導(dǎo)出平面ABC₁∥平面PQE，由此能證明PQ∥平面ABC₁．
（2）推導(dǎo)出AB⊥CC₁，BC⊥CC₁，AB⊥AC，從而AB⊥平面AA₁C₁C，由此能證明平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C．

解答 證明：（1）在BB₁取點(diǎn)E，使BE=3EB₁，連結(jié)PE、QE，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，P，Q分別是AA₁，B₁C₁上的點(diǎn)，且AP=3A₁P，B₁C₁=4B₁Q，
∴PE∥AB，QE∥BC₁，
∵AB∩BC₁=B，PE∩QE=E，AB、BC₁?平面ABC₁，
PE、QE?平面PQE，
∴平面ABC₁∥平面PQE，
∵PQ?平面PQE，∴PQ∥平面ABC₁．
解：（2）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
∴AB⊥CC₁，BC⊥CC₁，
∵AB=AA₁，BC=3，AC₁=3，BC₁=$\sqrt{13}$，
∴AB=AA₁=CC₁=$\sqrt{13-9}$=2，AC=$\sqrt{A{{C}_{1}}^{2}-C{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$，
∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
又AC∩CC₁=C，∴AB⊥平面AA₁C₁C，
∵AB?平面ABC₁，∴平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、面面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．