Question

己知實(shí)數(shù)a使得只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足關(guān)于x的不等式|x²+2ax+3a|≤2，求滿足條件的所有的實(shí)數(shù)a的值

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：將絕對(duì)值符號(hào)去掉，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)x使x²+2ax+3a≤2成立，利用相應(yīng)二次函數(shù)可知函數(shù)y=x²+2ax+3a-2的圖象與x軸相切，從而使問(wèn)題得解．

解答： 解：∵|x²+2ax+3a|≤2，即-2≤x²+2ax+3a≤2．
又∵只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足關(guān)于x的不等式|x²+2ax+3a|≤2，
∴有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)x使x²+2ax+3a≤2成立．
即有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)x使x²+2ax+3a-2≤0成立，
∴可知函數(shù)y=x²+2ax+3a-2的圖象與x軸相切．
∴根的判別式=4a²-4（3a-2）=0，所以a²-3a+2=0
∴a=1或2．
故答案為：1或2．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是一元二次不等式的應(yīng)用，主要考查一元二次不等式的解法，考查三個(gè)二次之間的關(guān)系，有一定的綜合性．