Question

求下列函數(shù)的值域：
（1）y=-2sin²x+2cosx+2；
（2）y=3cosx-

3

sinx，x∈[0，

π

2

]；
（3）y=sinx+cosx+sinxcosx．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題

分析：（1）由解析式的特點(diǎn)設(shè)t=cosx，由余弦函數(shù)的值域求出t的范圍，利用配方法對(duì)解析式進(jìn)出化簡(jiǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值，即求出函數(shù)的值域；
（2）直接利用兩角和的余弦函數(shù)，化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過(guò)x的范圍求出函數(shù)的值域．
（3）令t=sinx+cosx，推出t²=1+2sinxcosx，化簡(jiǎn)y=sinx+cosx+sinxcosx為y=

1

2

（t+1）²-1．根據(jù)t的范圍求出函數(shù)的最值；

解答： 解：（1）y=-2sin²x+2cosx+2=2cos²x+2cosx
設(shè)t=cosx，則t∈[-1，1]，代入函數(shù)解析式得，y=2t²+2t，
∴由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)取最小值是

4ac-b2

4a

=-

1

2

，當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)取最大值是4，
∴函數(shù)的值域是[-

1

2

，4]．
（2）y=3cosx-

3

sinx=2

3

cos（x+

π

6

）．
∵x∈[0，

π

2

]，∴x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]
∴cos（x+

π

6

）∈[

1

2

，

3

2

]
故y=3cosx-

3

sinx=2

3

cos（x+

π

6

）的值域?yàn)閇

3

，3]
（3）令t=sinx+cosx，則有t²=1+2sinxcosx，即sinxcosx=

t2-1

2

．
有y=f（t）=t+

t2-1

2

=

1

2

（t+1）²-1．又t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∴-

2

≤t≤

2

．故y=f（t）=

1

2

（t+1）²（-

2

≤t≤

2

），
從而知：f（-1）≤y≤f（

2

），即-1≤y≤

2

+

1

2

．即函數(shù)的值域?yàn)閇-1，

2

+

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值、函數(shù)的值域，考察計(jì)算能力，屬于中檔題．