Question

如圖1，直角梯形FBCE中，四邊形ADEF是正方形，AB=AD=2，CD=4．將正方形沿AD折起，得到如圖2所示的多面體，其中面ADE₁F₁⊥面ABCD，M是E₁C中點(diǎn)．
（1）證明：BM∥平面ADE₁F₁；
（2）求三棱錐D-BME₁的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取DE中點(diǎn)N，連結(jié)MN，AN．根據(jù)三角形中位定理及已知可得MN∥AB，且MN=AB，即四邊形ABMN為平行四邊形，故BM∥AN，由線面平行的判定定理可得BM∥平面ADE₁F₁；
（2）由面面垂直的性質(zhì)定理可得E₁D⊥面ABCD，進(jìn)而E₁D⊥BC，利用勾股定理可得BC⊥BD，結(jié)合線面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE₁，進(jìn)而由面面垂直的判定定理得到平面BCE₁⊥平面BDE₁，作DG⊥BE₁，則DG⊥平面BCE₁，DG是所求三棱錐的高，代入棱錐體積公式可得答案．

解答： 證明：（1）取DE中點(diǎn)N，連結(jié)MN，AN．
在△EDC中，M，N分別為E₁C，E₁D的中點(diǎn)，
∴MN∥CD，MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，
∴MN∥AB，且MN=AB．
∴四邊形ABMN為平行四邊形，
∴BM∥AN．…（3分）
又∵AN?平面ADE₁F₁，且BM?平面ADE₁F₁，
∴BM∥平面ADE₁F₁．…（4分）
解：（2）面ADE₁F₁⊥面ABCD，E₁D?面ADE₁F₁，面ADE₁F₁∩面ABCD=AD，E₁D⊥AD，
∴E₁D⊥面ABCD
又∵BC?面ABCD，
∴E₁D⊥BC…（6分）
梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，∠A=90°，BC=BD=2

2

∴BD²+BC²=CD²，
∴∠CDB=90°，即BC⊥BD
又∵BD∩E₁D=D，
∴BC⊥平面BDE₁…（8分）
又BC?平面BCE₁，
∴平面BCE₁⊥平面BDE₁，
作DG⊥BE₁，則DG⊥平面BCE₁，即DG是所求三棱錐高…（10分）
三棱錐D-BME₁的體積V=

1

3

•DG•S△BME1=

1

6

•DG•S△BCE1，
在直角三角形BDE₁中，由面積關(guān)系可得DG=

2 6

3

，又S△BCE1=2

6

∴V=

4

3

…（14分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是棱錐的體積，直線與平面垂直的判定，平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，難度中檔．