Question

如圖，多面體ABCDEF中，BA、BC、BE兩兩垂直，且AB∥EF，CD∥BE，AB=BE=2，BC=CD=EF=1．
（Ⅰ）若點G在線段AB上，且BG=3GA，求證：CG∥平面ADF；
（Ⅱ）求證：平面ABD⊥平面DEF．
（Ⅲ）求直線DF與平面ABEF所成的角的正弦值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）分別取AB、AF的中點M、H，連結MF，GH，DH，由已知條件推導出四邊形CDHG是平行四邊形，由此能證明CG∥平面ADF．
（II）由已知條件推導出BD⊥DE，從而得到BA⊥面BCDE，進而得到BA⊥DE，由此能證明DE⊥平面ABD，從而得到平面DEF⊥平面ABD．
（Ⅲ）取BE的中點O，連接OF，由已知條件推導出∠DFO是直線DF與平面ABEF所成的角，由此能求出直線DF與平面ABEF所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：分別取AB、AF的中點M、H，連結MF，GH，DH，
有AG=GM，MF

∥

.

BE．
∵AH=HF，∴GH

∥

.

1

2

MF，…（1分）
又∵CD

∥

.

1

2

BE，BE

∥

.

MF，∴CD

∥

.

GH，
∴四邊形CDHG是平行四邊形，∴CG

∥

.

DH，…（3分）
又∵CG不包含于平面ADF，DH?平面ADF，
∴CG∥平面ADF．…（4分）
（II）證明：在△BDE中，BD=

2

，DE=

2

，BE=2，
∴BD²+DE²=BE²，∴BD⊥DE，…（6分）
又∵BD⊥BC，BA⊥BE，BC∩BE=B，
∴BA⊥面BCDE，∴BA⊥DE，…（8分）
又∵AB∩BD=B，
∴DE⊥平面ABD，又∵DE?平面DEF，
∴平面DEF⊥平面ABD．…（9分）
（Ⅲ）解：取BE的中點O，連接OF，
∵BD=DE，∴OD⊥BE，
又∵AB⊥底面BCDE，∴AB⊥OD，
AB∩BE=B，∴OD⊥面ABEF，
∴OF為DF在面ABEF內的射影，∴∠DFO是直線DF與平面ABEF所成的角，…（11分）
在Rt△DFO中，DO=1，DF=

3

，
∴sin∠DFO=

3

3

，
∴直線DF與平面ABEF所成的角的正弦值為

3

3

．…（13分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．