Question

已知雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1離心率是

2

，過(guò)點(diǎn)（

3

，1），且右支上的弦AB過(guò)右焦點(diǎn)F．
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（3）是否存在以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O？，若存在，求出直線(xiàn)AB的斜率k的值．若不存在，則說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件得

c a = 2 3 a2 - 1 b2 =1 c2=a2+b2

，由此能求出雙曲線(xiàn)C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），利用點(diǎn)差法能示出弦AB的中點(diǎn)M的軌跡E的方程．
（3）假設(shè)存在以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線(xiàn)AB：y=k（x-2），由

x2-y2=2 y=k(x-2)

，得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0，由x₁x₂+y₁y₂=0，得k²+1=0無(wú)解，故這樣的圓不存在．

解答： 解：（1）∵雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1離心率是

2

，過(guò)點(diǎn)（

3

，1），
∴

c a = 2 3 a2 - 1 b2 =1 c2=a2+b2

，解得a=

2

，b=

2

，c=2，
∴雙曲線(xiàn)C的方程x²-y²=2．
（2）∵右支上的弦AB過(guò)右焦點(diǎn)F（2，0），
∴設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
∵弦AB的中點(diǎn)M，∴x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
把A，B分別代入雙曲線(xiàn)C，得

x12-y12=2 x22-y22=2

，
兩式相減，得2x（x₁-x₂）-2y（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=

x

y

，x≥2，
又∵直線(xiàn)AB過(guò)F（2，0），M（x，y），
∴k=

y

x-2

，∴

y

x-2

=

x

y

，
整理，得弦AB的中點(diǎn)M的軌跡E的方程：x²-2x-y²=0，x≥2．
（3）假設(shè)存在以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線(xiàn)AB：y=k（x-2），
由

x2-y2=2 y=k(x-2)

，得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0，
△＞0，x1+x2=

4k2

k2-1

，x1x2=

4k2+2

k2-1

，k²≠1，①
∵以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2=0，②
聯(lián)立①②，得k²+1=0無(wú)解，
∴這樣的圓不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)方程的求法，考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查滿(mǎn)足條件的圓是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．