Question

已知拋物線C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（

1

2

，0），準(zhǔn)線方程為x=-

1

2

．
（1）寫出拋物線C的方程；
（2）（此小題僅理科做）過F點(diǎn)的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB重心G的軌跡方程；
（3）點(diǎn)P是拋物線C上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓（x-3）²+y²=2的切線，切點(diǎn)分別是M，N．當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，|MN|的值最小？并求出|MN|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意知拋物線方程為：y²=2x．
（2）當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，設(shè)方程為y=k（x-

1

2

），代入y²=2x，得k2x2-(k2+2)x+

k2

4

=0，k≠0，設(shè)△AOB的重心為OG（x，y），由韋達(dá)定理得y2=

2

3

x-

2

9

．當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，△AOB的重心G（

1

3

，0）也滿足上述方程，由此能求出△AOB重心G的軌跡方程．
（3）已知圓的圓心為Q（3，0），半徑r=

2

，當(dāng)|PQ|²最小時(shí)，|MN|取最小值，由此能求出當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（2，±2）時(shí)，|MN|取最小值

2 30

5

．

解答： 解：（1）∵拋物線C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（

1

2

，0），準(zhǔn)線方程為x=-

1

2

，
∴拋物線方程為：y²=2x．
（2）①當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，設(shè)方程為y=k（x-

1

2

），
代入y²=2x，得k2x2-(k2+2)x+

k2

4

=0，k≠0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

k2+2

k2

，y1+y2=k(x1+x2-1)=

2

k

，
設(shè)△AOB的重心為OG（x，y），
則

x= 0+x1+x2 3 = k2+2 3k2 y= 0+y1+y2 3 = 2 3k

，
消去y，得y2=

2

3

x-

2

9

．
②當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，A（

1

2

，1），B（

1

2

，-1），
△AOB的重心G（

1

3

，0）也滿足上述方程．
綜合①②，得所求的軌跡方程為y2=

2

3

x-

2

9

．
（3）已知圓的圓心為Q（3，0），半徑r=

2

，
根據(jù)圓的性質(zhì)有：|MN|=2•

|MP||MQ|

|PQ|

=2r

|PQ|2-r2 |PQ|2

=2

2

•

1- 2 |PQ|2

，
當(dāng)|PQ|²最小時(shí)，|MN|取最小值．
設(shè)P（x₀，y₀），則y02=2x0，
|PQ|²=（x₀-3）²+y02=x02-4x0+9=（x₀-2）²+5，
∴當(dāng)x₀=2，y₀=±2時(shí)，|PQ|²取最小值5，
故當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（2，±2）時(shí)，|MN|取最小值

2 30

5

．

點(diǎn)評：本題考查拋物線方程的求法，考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查線段長最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．