Question

2．已知函數(shù)f（x）=a^x-b的反函數(shù)為f^-1（x），f^-1（x）的圖象過點（3，2），函數(shù)g（x）=log₂（3x+b）的圖象過點（1，1）．
（1）求a，b的值；
（2）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范圍D．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)互為反函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出方程求出a與b的值；
（2）根據(jù)f（x）求出f^-1（x）的解析式，由f^-1（x）≤g（x），列出不等式組，求出解集即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=a^x-b的反函數(shù)為f^-1（x），
且f^-1（x）的圖象過點（3，2），
∴f（2）=a²-b=3；
又函數(shù)g（x）=log₂（3x+b）的圖象過點（1，1），
∴g（1）=log₂（3+b）=1，
即3+b=2，
解得b=-1；
∴a²=3+b=2，
∴a=$\sqrt{2}$或a=-$\sqrt{2}$（舍去），
綜上，a=$\sqrt{2}$，b=-1；
（2）∵f（x）=${（\sqrt{2}）}^{x}$+1，
∴f^-1（x）=${log}_{\sqrt{2}}$（x-1）；
又f^-1（x）≤g（x），
∴${log}_{\sqrt{2}}$（x-1）≤log₂（3x-1），
即${log}_{\sqrt{2}}$（x-1）≤${log}_{\sqrt{2}}$$\sqrt{3x-1}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{3x-1＞0}\\{（x-1）≤\sqrt{3x-1}}\end{array}\right.$，
解得1＜x≤$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$；
∴x的取值范圍是（1，$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$]．

點評 本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，
是基礎(chǔ)題目．