如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,△PAB為正三角形,且面PAB⊥面ABCD,四邊形ABCD為直角梯形,且AD∥BC,∠BCD=
π
4
,AD=1,BC=2,E為棱PC中點.
(1)求證:DE∥平面PAB;
(2)求證:面PAB⊥面PBC.
考點:平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(1)取BC中點F,連結(jié)DF,EF,由已知條件推導出EF∥PB,DF∥AB,從而得到面DEF∥面PAB,由此能證明EF∥面PAB.
(2)由四邊形ABCD為直角梯形,得AB⊥BC,由面PAB⊥面ABCD,面PAB∩面ABCD=AB,得BC⊥平面PAB,由此能證明面PAB⊥面PBC.
解答: 證明:(1)取BC中點F,連結(jié)DF,EF,
∵E是PC中點,F(xiàn)是BC中點,∴EF∥PB,
∵四邊形ABCD為直角梯形,且AD∥BC,AD=1,BC=2,F(xiàn)為BC中點,
∴DF∥AB,又EF∩DE=E,
∴面DEF∥面PAB,
又EF?面DEF,∴EF∥面PAB.
(2)∵四邊形ABCD為直角梯形,且AD∥BC,AD=1,BC=2,
∴AB⊥BC,
又面PAB⊥面ABCD,面PAB∩面ABCD=AB,
∴BC⊥平面PAB,
又BC?面PBC,
∴面PAB⊥面PBC.
點評:本題考查直線與平面平行的證明,考查平面與平面垂直的證明,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知四面體P-ABC,PA⊥平面ABC,若PA=2,AB=BC=AC=
6
,則該四面體的外接球的體積為( 。
A、
3
π
B、2π
C、2
2
π
D、4
3
π

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知
a
,
b
,
c
是同一平面內(nèi)的三個向量,其中
a
=(1,2).
(Ⅰ)若|
c
|=2
5
,且
c
a
,求向量
c
;
(Ⅱ)若|
b
|=
3
5
2
,且
a
+2
b
與2
a
-
b
垂直,求
a
b
的夾角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

二階矩陣A,B對應(yīng)的變換對圓的區(qū)域作用結(jié)果如圖所示.
(Ⅰ)請寫出一個滿足條件的矩陣A,B;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)果,計算C=BA,并求出曲線x-y-1=0在矩陣C對應(yīng)的變換作用下的曲線方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在一次測量活動中,要測量河兩岸B、C兩點間的距離,測量者在河的一側(cè),測得AC=24m,∠BAC=45°,∠ACB=75°,求B、C兩點間的距離.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2x-2ln(1+x).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當x∈[
1
e
-1,e-1]時,是否存在整數(shù)m,使不等式m<f(x)≤-m2+2m+e2恒成立?若存在,求整數(shù)m的值;若不存在,則說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,且a1=2,Sn是an的前n和.
(1)求a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8;
(2)求an;
(3)求Sn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx(a>0).
(Ⅰ)若f(x)在x=2處的切線與直線2x+3y+1=0垂直,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某公司一年購買某種貨物400噸,每次都購買x噸,運費為4萬元/次,一年的總存儲費為4x萬元,一年的總運費與總存儲費之和記為y(單位:萬元).
(1)將y表示為x的函數(shù);
(2)當x為何值時,y取最小值?并求出y的最小值.

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