Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+

3

sin2x，g（x）=

1

2

f（x+

5π

12

）+ax+b，其中a，b為非零實(shí)常數(shù)．
（1）若f（α）=1-

3

，α∈[-

π

3

，

π

3

]，求α的值
（2）若x∈R，討論g（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論
（3）已知對(duì)任意x₁，x₂∈R，恒有|sinx₁-sinx₂|≤|x₁-x₂|，當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂時(shí)等號(hào)成立，若g（x）是上R的增函數(shù)，根據(jù)上述結(jié)論，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，利用α范圍和函數(shù)解析式求得α的值．
（2）根據(jù)f（x）的范圍確定g（x）的范圍，對(duì)b=-

1

2

時(shí)和；b≠-

1

2

時(shí)分類討論．
（3）設(shè)x₁＜x₂，表示出g（x₂）-g（x₁）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷出g（x₂）-g（x₁）＞0，推斷出a＞

sin2x2-sin2x1

x2-x1

，進(jìn)而根據(jù)|

sin2x2-sin2x1

x2-x1

|＜

|2x2-2x1|

x2-x1

=2求得a范圍．

解答： 解：（1）f（x）=2cos²x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴f（α）=2sin（2α+

π

6

）+1=1-

3

，
sin（2α+

π

6

）=-

3

2

，
∵α∈[-

π

3

，

π

3

]，
∴2α+

π

6

∈[-

π

2

，

5π

6

]，
∴2α+

π

6

=-

π

3

，
∴α=-

π

4

（2）g(x)=-sin2x+ax+b+

1

2

，
所以b=-

1

2

時(shí)，g（x）為奇函數(shù)；b≠-

1

2

時(shí)，g（x）為非奇非偶函數(shù)．
（3）設(shè)x₁＜x₂，則g（x₂）-g（x₁）=sin2x₁-sin2x₂+a（x₂-x₁）
因?yàn)�，g（x）是R上的增函數(shù)，所以g（x₂）-g（x₁）=sin2x₁-sin2x₂+a（x₂-x₁）＞0恒成立
又x₂-x₁＞0，
∴a＞

sin2x2-sin2x1

x2-x1

恒成立，
又∵|

sin2x2-sin2x1

x2-x1

|=2•|

sin2x2-sin2x1

2x2-2x1

|≤2，
∴a≥2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性．考查了學(xué)生分析問題和推理的能力．