Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，O是AC的中點(diǎn)，A₁O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA₁=AC=BC．
（Ⅰ）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）若AA₁=2，求三棱錐C-A₁AB的高的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明AC₁⊥平面A₁BC，只需證明AC₁⊥BC、AC₁⊥A₁C；
（Ⅱ）利用V_C-A1AB=V_A-A1BC，求三棱錐C-A₁AB的高的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：因?yàn)锳₁O⊥平面ABC，所以A₁O⊥BC．
又BC⊥AC，所以BC⊥平面A₁ACC₁，所以AC₁⊥BC．…（2分）
因?yàn)锳A₁=AC，所以四邊形A₁ACC₁是菱形，所以AC₁⊥A₁C．
所以AC₁⊥平面A₁BC．…（6分）
（Ⅱ）解：設(shè)三棱錐C-A₁AB的高為h．
由（Ⅰ）可知，三棱錐A-A₁BC的高為

1

2

AC₁=

3

．
因?yàn)閂_C-A1AB=V_A-A1BC，即

1

3

S_△A1ABh=

1

3

S_△A1BC•

3

．
在△A₁AB中，AB=A₁B=2

2

，AA₁=2，所以S_△A1AB=

7

．…（10分）
在△A₁BC中，BC=A₁C=2，∠BCA₁=90°，所以S_△A1BC=

1

2

BC•A₁C=2．
所以h=

2 21

7

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．