Question

【題目】某省2020年高考將實施新的高考改革方案．考生的高考總成績由3門統一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目成績組成，總分為750分．其中，統一高考科目為語文、數學、外語，自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目是從物理、化學、生物、政治、歷史、地理6科中選擇3門作為選考科目，語文、數學、外語三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分數不直接用，而是按照學生分數在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分．根據高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為，，，，，，，共8個等級．參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數所占比例分別為3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．等級考試科目成績計入考生總成績時，將至等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到91～100，81～90，71～80，61～70，51～60，41～50，31～40，21～30八個分數區(qū)間，得到考生的等級成績．舉例說明：某同學化學學科原始分為65分，該學科等級的原始分分布區(qū)間為58～69，則該同學化學學科的原始成績屬等級．而等級的轉換分區(qū)間為61～70，那么該同學化學學科的轉換分計算方法為：設該同學化學學科的轉換等級分為，，求得．四舍五入后該同學化學學科賦分成績?yōu)?/span>67．為給高一學生合理選科提供依據，全省對六個選考科目進行測試，某校高一年級2000人，根據該校高一學生的物理原始成績制成頻率分布直方圖（見右圖）．由頻率分布直方圖，可以認為該校高一學生的物理原始成績服從正態(tài)分布，用這2000名學生的平均物理成績作為的估計值，用這2000名學生的物理成績的方差作為的估計值．

（1）若張明同學在這次考試中的物理原始分為86分，等級為，其所在原始分分布區(qū)間為82～93，求張明轉換后的物理成績（精確到1）；按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取100人，記表示這100人中等級成績在區(qū)間內的人數，求最有可能的取值（概率最大）；

（2）①求，（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點作代表）；

②由①中的數據，記該校高一學生的物理原始分高于84分的人數為，求．

附：若，則，，．

Answer 1

【答案】（1）最有可能的取值是10．（2）①60，144②45.5

【解析】

（1）根據轉換公式得等級分，．由求出值即可；

（2）由頻率分布直方圖求出，得，由正態(tài)分布曲線得概率，則有，再由二項分布的期望公式得期望．

（1）設張明轉換后的物理等級分為，由，求得．

所以，張明轉換后的物理成績?yōu)?/span>84分．

由題意，．

由得

解得．又，所以．

所以，最有可能的取值是10．

（2）①解：．

．

②由①中的數據，，，所以．

所以．

所以

由題意，．

所以．