Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，試求方程的根的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，根的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，根的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，根的個(gè)數(shù)為2

【解析】

（1）直接求導(dǎo)得，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出在處的切線方程；

（2）對(duì)任意，恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，分類討論和的情況，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值和解決恒成立問(wèn)題，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）分類討論的取值范圍，由（2）得，當(dāng)時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)為0，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，得方程的根的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，即可判斷出方程的根的個(gè)數(shù)，綜合即可得出結(jié)論.

解：（1）∵，則的定義域?yàn)?/span>，

∴，∴，

∵，則切點(diǎn)為，

∴曲線在處的切線方程是：，

（2）∵對(duì)任意，恒成立，

∴對(duì)任意，恒成立，

即恒成立，

令，，

則，

①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，

∴，

∴，

②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞增，

∴，

∴，

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（3）當(dāng)時(shí)，由（2）得，方程的根的個(gè)數(shù)為0，

當(dāng)時(shí)，由（2）得，當(dāng)時(shí)，，

∴方程的根的個(gè)數(shù)為1，

當(dāng)時(shí)，，，

，

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在上至少存在1個(gè)零點(diǎn)，

又在上單調(diào)遞減，

∴在在上只有1個(gè)零點(diǎn)，

，同理，在上只有1個(gè)零點(diǎn)，

∴方程的根的個(gè)數(shù)為2，

綜上，當(dāng)時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)為0；

當(dāng) 時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)為1；

當(dāng)時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)為2.