Question

已知橢圓M的中心原點O，點F（-1，0）是它的一個焦點，直線L過點F與橢圓M交于P、Q兩點，當直線L的斜率不存在時，

OP

•

OQ

=

1

2

．
（1）求橢圓M的方程；
（2）設A、B、C是橢圓M上的不同三點，且

OA

+

OB

+

OC

=0，證明直線AB與OC的斜率之積為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,圓錐曲線的實際背景及作用

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，求出P（-1，

2

2

），代入橢圓方程，能求出橢圓方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），推導出x₃=-（x₁+x₂），y₃=-（y₁+y₂），利用點差法能求出k_AB•k_OC=

y2-y1

x2-x1

•

y1+y2

x1+x2

=

y22-y12

x22-x12

=-

1

2

為定值．

解答： （1）解：∵橢圓M的中心原點O，點F（-1，0）是它的一個焦點，
∴設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，
∵直線L過點F與橢圓M交于P、Q兩點，當直線L的斜率不存在時，

OP

•

OQ

=

1

2

，
∴設P（-1，n），Q=（-1，-n），且1-n²=

1

2

，解得n=±

2

2

，
把P（-1，

2

2

）代入橢圓方程，得：

1

a2

+

1

2(a2-1)

=1，
整理，得：2a⁴-5a²+2=0，
解得a²=2或a2=

1

2

（舍），
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（2）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
∵

OA

+

OB

+

OC

=0，
∴x₁+x₂+x₃=0，即x₃=-（x₁+x₂），
y₁+y₂+y₃=0，即y₃=-（y₁+y₂），
kAB=

y2-y1

x2-x1

，k_OC=

y3

x3

=

y1+y2

x1+x2

，
∴k_AB•k_OC=

y2-y1

x2-x1

•

y1+y2

x1+x2

=

y22-y12

x22-x12

，
∵A、B在橢圓上，∴

x12

2

+y12=1，

x22

2

+y22=1，
兩式相減得y₂²-y₁²+

1

2

（x₂²-x₁²）=0
∴k_AB•k_OC=

y22-y12

x22-x12

=-

1

2

為定值．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率乘積為定值的證明，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．