Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂為橢圓

x2

36

+

y2

16

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，已知P，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF₁|＞|PF₂|．
（1）若∠PF₂F₁是直角，求|PF₁|-|PF₂|的值；
（2）若∠F₁PF₂是直角，求

| PF1 |

| PF2 |

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出|PF1|2=(12-|PF1|)2+80，從而能求出|PF₁|，|PF₂|，由此能求出|PF₁|-|PF₂|的值．
（2）由已知條件推導(dǎo)出2|PF1|2-24|PF1|+64=0，從而能求出|PF₁|，|PF₂|，由此能求出

| PF1 |

| PF2 |

的值．

解答： 解：（1）∵F₁，F(xiàn)₂為橢圓

x2

36

+

y2

16

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，
P，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，
且|PF₁|＞|PF₂|，∠PF₂F₁是直角，
∴|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，
即|PF1|2=(12-|PF1|)2+80，
解得|PF₁|=

28

3

，|PF₂|=

8

3

，
∴|PF1|-|PF2|=

20

3

．（6分）
（2）由（1）知，若∠F₁PF₂是直角，則|PF1|2+(12-|PF1|)2=80，
即2|PF1|2-24|PF1|+64=0，
解得|PF₁|=8，|PF₂|=4，
∴

| PF1 |

| PF2 |

=2．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩線段之差和兩線段比值的求法，是中檔題，解題時(shí)要熟練掌握橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．