Question

兩個二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c與g（x）=-x²+2x+d的圖象有唯一的公共點P（1，-2），
（Ⅰ）求b，c，d的值；
（Ⅱ）設F（x）=（f（x）+m）•g′（x），若F（x）在[-2，0]上是單調(diào)函數(shù)，求m的范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）由題意可得（1，-2）為兩拋物線的頂點，結合二次函數(shù)的性質(zhì)可求b，c，d
（II）由（I）可求f（x），g（x），代入可求F（x）=（f（x）+m）•g′（x），對函數(shù)F（x）求導，然后結合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷F′（x）的正負，從而可判斷函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（Ⅰ）∵P（1，-2）是兩個函數(shù)的公共點，∴g（1）=1+d=-2，解得d=-3，
即g（x）=-x²+2x-3，
∵f（1）=1+b+c=-2，∴b+c=-3，即c=-3-b，①
由f（x）=g（x），即x²+bx+c=-x²+2x-3，
則2x²+（b-2）x+c+3=0，
則判別式△=（b-2）²-8（c+3）=0，②
由①②得（b+2）²=0，解得b=-2，c=-1．
即b=-2，c=-1，d=-3；
（Ⅱ）∵b=-2，c=-1，d=-3，∴f（x）=x²-2x-1與g（x）=-x²+2x-3，
則g′（x）=-2x+2，
∴F（x）=（f（x）+m）•g′（x）=（x²-2x-1+m）•（-2x+2），
∴F′（x）=-6x²+4x-（2m+6），
則函數(shù)F′（x）的對稱軸為x=-

4

-2×6

=

1

3

，拋物線開口向下，
∴[-2，0]在對稱軸的左側，
若F（x）在[-2，0]上是單調(diào)函數(shù)，
則F′（-2）F′（0）≥0，
即（-38-2m）[-（2m+6）]≥0，
則（2m+38）（2m+6）≥0，
即（m+19）（m+3）≥0，解得m≥-3或≤-19．
故m的范圍是m≥-3或≤-19．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的對稱性、函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系的應用，解題的關鍵是熟練應用二次函數(shù)的性質(zhì)