Question

6．已知△ABC中，AB=2，AC=1，當(dāng)2x+y=t（t＞0）時(shí)，|x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$t恒成立，則△ABC的面積為1，在前述條件下，對(duì)于△ABC內(nèi)一點(diǎn)P，$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）的最小值是-$\frac{5}{8}$．

Answer 1

分析 不等式|x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，兩邊平方，結(jié)合向量的數(shù)量積的性質(zhì)和二次不等式恒成立思想，解不等式可得cosA的范圍，進(jìn)而得到所求面積的值；由向量共線和數(shù)量積的定義，結(jié)合直角三角形的中線性質(zhì)，以及基本不等式的運(yùn)用，即可得到最小值．

解答 解：不等式|x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
兩邊平方可得，x²$\overrightarrow{AB}$²+y²$\overrightarrow{AC}$²+2xy$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≥$\frac{1}{2}$t²，
由AB=2，AC=1，2x+y=t，可得
4x²+y²+4xy（2cosA-1）≥0，
由判別式16y²（2cosA-1）²-16y²≤0，
即為cosA（cosA-1）≤0，
可得cosA≥0，即A的最大值為$\frac{π}{2}$，
當(dāng)cosA=0時(shí)，|x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{4{x}^{2}+{y}^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2x+y），
則△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$AB•AC•sinA=$\frac{1}{2}×2×1$=1；
在直角三角形ABC中，取BC的中點(diǎn)D，連接PD，
則$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PD}$，
則$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$=2$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PD}$，
當(dāng)A，P，D三點(diǎn)共線時(shí)，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PD}$＜0，
又此時(shí)AD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即有2$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PD}$=-2|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PD}$|
≥-2•（$\frac{|\overrightarrow{PA}|+|\overrightarrow{PD}|}{2}$）²=-2•$\frac{5}{16}$=-$\frac{5}{8}$．
故答案為：1，-$\frac{5}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查不等式恒成立思想的運(yùn)用，以及基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．