Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

tlnx

x

（t≠0的常數(shù)）．
（Ⅰ）若f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，e）（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求t的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=（f（x））²+4f（x）+4只有一個(gè)零點(diǎn)，求t的取值范圍；
（Ⅲ）若t＞0，對(duì)任意x≥1，f（x）≤

(x2-1)t2

x2

恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性及最值的關(guān)系，通過(guò)解不等式求字母的取值范圍，恒成立問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題解決．

解答： 解：（1）∵f（x）=

tlnx

x

（t≠0），∴f′（x）=t•

1-lnx

x2

，
又題意可知f′（x）＞0的解集是（0，e），而x∈（0，e）時(shí)，lnx＜1即1-lnx＞0，所以t＞0．
綜上所述，t的取值范圍是（0，+∞）…4分
（2）由g（x）=[f（x）]²+4f（x）+4，得g（x）=[f（x）+2]²，
要使函數(shù)）=[f（x）]²+4f（x）+4只有一個(gè)零點(diǎn)，只需f（x）=-2有且只有一個(gè)實(shí)根，
∵f′（x）=t•

1-lnx

x2

，令f′（x）=0得x=e，
x∈（0，e）時(shí)，1-lnx＞0，x∈（e，+∞）時(shí)，1-lnx＜0，
當(dāng)t＞0時(shí)，f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，
函數(shù)f（x）有最大值f（e）=

t

e

＞0，但x（0，1）時(shí)，f（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞0，
此時(shí)f（x）=-2有且只有一個(gè)實(shí)根；
當(dāng)t＜0時(shí)，f（x）在（0，e）上單調(diào)遞減，在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
函數(shù)f（x）有最大值f（e）=

t

e

＜0，但x（0，1）時(shí)，f（x）＞0，x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＜0，
此時(shí)要使f（x）=-2有且只有一個(gè)實(shí)根，只需

t

e

=-2即t=-2e；
綜上所述，t的取值范圍是（0，+∞）∪{-2e}…9分
（3）由t＞0時(shí)，對(duì)任意的x≥1都有f（x）≤

(x2-1)t2

x2

恒成立轉(zhuǎn)化為

x2-1

x

•t-lnx≥0恒成立．
令h（x）=

x2-1

x

•t-lnx，則h′（x）=

x2+1

x2

•t-

1

x

=

t•x2-x+t

x2

，
由h′（x）=0得tx²-x+t=0，而△=1-4t²，
當(dāng)t≥

1

2

時(shí)，△≤0，h′（x）≥0，所以h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）≥h（1）=0符合題意；
當(dāng)0＜t＜

1

2

時(shí)，tx²-x+t=0方程的兩根x₁=

1- 1-4t2

2t

＜1，x₂=

1+ 1-4t2

2t

＞1．
所以函數(shù)h（x）在[1，x₂]上單調(diào)遞減，h（x）≤h（1）=0，不符合題意；
綜上所述，t的取值范圍是[

1

2

，+∞]…14分

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化．