【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線,過(guò)點(diǎn)且與拋物線分別交于點(diǎn)和點(diǎn),弦和的中點(diǎn)分別為,若,則下列結(jié)論正確的是
(______________)
①的最小值為32
②以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積的最小值為128
③直線過(guò)定點(diǎn)
④焦點(diǎn)可以同時(shí)為弦和的三等分點(diǎn)
【答案】①②③
【解析】
依題意得直線的斜率均存在,設(shè),,直線,把直線方程和拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理和拋物線的定義分別求出的表達(dá)式,利用基本不等式求最值即可判斷①;求出四邊形面積的表達(dá)式,利用基本不等式求最值即可判斷②;表示出坐標(biāo),進(jìn)而得到直線的方程即可判斷③;假設(shè)點(diǎn)為弦的三等分點(diǎn),不妨設(shè),利用平面向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行求解,根據(jù)能否推出矛盾判斷④即可.
依題意得直線的斜率均存在,且,
設(shè),,直線,
聯(lián)立方程,整理可得,
所以,則,
因?yàn)?/span>,以代替可得,,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以①正確;
因?yàn)?/span>,所以四邊形的面積,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以②正確;
因?yàn)?/span>,,
所以直線的方程為,
即,恒過(guò)定點(diǎn),故③正確;
若點(diǎn)為弦的三等分點(diǎn),不妨設(shè),
則,所以,
即,又,
解得(舍去),或,
代入,得,與兩直線垂直矛盾,故④錯(cuò)誤.
故答案為:①②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校為了解學(xué)生對(duì)消防安全知識(shí)的掌握情況,開(kāi)展了網(wǎng)上消防安全知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽活動(dòng),并對(duì)參加活動(dòng)的男生、女生各隨機(jī)抽取20人,統(tǒng)計(jì)答題成績(jī),分別制成如下頻率分布直方圖和莖葉圖:
(1)把成績(jī)?cè)?/span>80分以上(含80分)的同學(xué)稱為“安全通”.根據(jù)以上數(shù)據(jù),完成以下列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為是否是“安全通”與性別有關(guān)
男生 | 女生 | 合計(jì) | |
安全通 | |||
非安全通 | |||
合計(jì) |
(2)以樣本的頻率估計(jì)總體的概率,現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取2男2女,設(shè)其中“安全通”的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附:參考公式,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2018·湖南師大附中摸底)已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-4,-3),且被圓(x+1)2+(y+2)2=25截得的弦長(zhǎng)為8,則直線l的方程是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱,旨在積極發(fā)展我國(guó)與沿線國(guó)家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系,共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包容的命運(yùn)共同體.自2013年以來(lái),“一帶一路”建設(shè)成果顯著下圖是2013-2017年,我國(guó)對(duì)“一帶一路”沿線國(guó)家進(jìn)出口情況統(tǒng)計(jì)圖,下列描述正確的是( ).
A.這五年,2013年出口額最少
B.這五年,出口總額比進(jìn)口總額多
C.這五年,出口增速前四年逐年下降
D.這五年,2017年進(jìn)口增速最快
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)有四個(gè)函數(shù)①y=x|sinx|,②y=xcos|x|,③,④y=xln|x|的部分圖象如下,但順序被打亂,則按照?qǐng)D象從左到右的順序,對(duì)應(yīng)的函數(shù)序號(hào)正確的一組是( )
A.①④②③B.①④③②C.③②④①D.③④②①
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線與軸交于兩點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求直線的普通方程及曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線在第一象限交于點(diǎn),且線段的中點(diǎn)為,點(diǎn)在曲線上,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】田忌賽馬是《史記》中記載的一個(gè)故事,說(shuō)的是齊國(guó)大將軍田忌經(jīng)常與齊國(guó)眾公子賽馬,孫臏發(fā)現(xiàn)田忌的馬和其他人的馬相差并不遠(yuǎn),都分為上、中、下三等.于是孫臏給田忌將軍獻(xiàn)策:比賽即將開(kāi)始時(shí),他讓田忌用下等馬對(duì)戰(zhàn)公子們的上等馬,用上等馬對(duì)戰(zhàn)公子們的中等馬,用中等馬對(duì)戰(zhàn)公子們的下等馬,從而使田忌贏得了許多賭注.假設(shè)田忌的各等級(jí)馬與某公子的各等級(jí)馬進(jìn)行一場(chǎng)比賽,田忌獲勝的概率如下表所示:
比賽規(guī)則規(guī)定:一次比賽由三場(chǎng)賽馬組成,每場(chǎng)由公子和田忌各出一匹馬參賽,結(jié)果只有勝和負(fù)兩種,并且毎一方三場(chǎng)賽馬的馬的等級(jí)各不相同,三場(chǎng)比賽中至少獲勝兩場(chǎng)的一方為最終勝利者.
(1)如果按孫臏的策略比賽一次,求田忌獲勝的概率;
(2)如果比賽約定,只能同等級(jí)馬對(duì)戰(zhàn),每次比賽賭注1000金,即勝利者贏得對(duì)方1000金,每月比賽一次,求田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)的零點(diǎn),以及曲線在其零點(diǎn)處的切線方程;
(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從2017年1月18日開(kāi)始,支付寶用戶可以通過(guò)“掃‘福’字”和“參與螞蟻森林”兩種方式獲得?ǎ◥(ài)國(guó)福、富強(qiáng)福、和諧福、友善福、敬業(yè)福),除夕夜22:18,每一位提前集齊五福的用戶都將獲得一份現(xiàn)金紅包.某高校一個(gè)社團(tuán)在年后開(kāi)學(xué)后隨機(jī)調(diào)查了80位該校在讀大學(xué)生,就除夕夜22:18之前是否集齊五福進(jìn)行了一次調(diào)查(若未參與集五福的活動(dòng),則也等同于未集齊五福),得到具體數(shù)據(jù)如下表:
是 | 否 | 合計(jì) | |
男 | 30 | 10 | 40 |
女 | 35 | 5 | 40 |
合計(jì) | 65 | 15 | 80 |
(1)根據(jù)如上的列聯(lián)表,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下,認(rèn)為“集齊五福與性別有關(guān)”?
(2)計(jì)算這80位大學(xué)生集齊五福的頻率,并據(jù)此估算該校10000名在讀大學(xué)生中集齊五福的人數(shù);
(3)為了解集齊五福的大學(xué)生明年是否愿意繼續(xù)參加集五;顒(dòng),該大學(xué)的學(xué)生會(huì)從集齊五福的學(xué)生中,選取2位男生和3位女生逐個(gè)進(jìn)行采訪,最后再隨機(jī)選取3次采訪記錄放到該大學(xué)的官方網(wǎng)站上,求最后被選取的3次采訪對(duì)象中至少有一位男生的概率.
參考公式: .
附表:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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