已知半橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1(y≥0)
和半圓x2+y2=b2(y≤0)組成曲線C,其中a>b>0;如圖,半橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1(y≥0)
內(nèi)切于矩形ABCD,且CD交y軸于點(diǎn)G,點(diǎn)P是半圓x2+y2=b2(y≤0)上異于A,B的任意一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)M(
6
3
,-
3
3
)
時(shí),△AGP的面積最大.
(1)求曲線C的方程;
(2)連PC、PD交AB分別于點(diǎn)E、F,求證:AE2+BF2為定值.
(1)已知點(diǎn)M(
6
3
,-
3
3
)

在半圓x2+y2=b2(y≤0)上,
所以(
6
3
)2+(-
3
3
)2=b2
,又b>0,
所以b=1,當(dāng)半圓x2+y2=b2(y≤0)
在點(diǎn)P處的切線與直線AG平行時(shí),
點(diǎn)P到直線AG的距離最大,
此時(shí)△AGP的面積取得最大值,
故半圓x2+y2=b2(y≤0)
在點(diǎn)M處的切線與直線AG平行,
所以O(shè)M⊥AG,又kOM=
yM-0
xM-0
=-
2
2

所以kAG=
2
=
a
b
,又b=1,所以a=
2
,(4分)
所以曲線C的方程為x2+
y2
2
=1(y≥0)
或x2+y2=1(y≤0).
(2)點(diǎn)C(1,
2
)
,點(diǎn)D(-1,
2
)

設(shè)P(x0,y0),則有直線PC的方程為y-
2
=
y0-
2
x0-1
(x-1)
,
令y=0,得x=1-
2
(x0-1)
y0-
2
,
所以AE=2-
2
(x0-1)
y0-
2

直線PD的方程為y-
2
=
y0-
2
x0+1
(x+1)
,
令y=0,得xF=-1-
2
(x0+1)
y0-
2
,
所以BF=2+
2
(x0+1)
y0-
2
;
AE2+BF2=[2-
2
(x0-1)
y0-
2
]2+[2+
2
(x0+1)
y0-
2
]2

=
4
x20
+4
(y0-
2
)
2
+
8
2
y0-
2
+8

又由x02+y02=1,得x02=1-y02
代入上式得AE2+BF2=
8-4
y20
(y0-
2
)
2
+
8
2
y0-
2
+8

=
8-4
y20
+8
2
(y0-
2
)
(y0-
2
)
2
+8

=
-4(y0-
2
)
2
(y0-
2
)
2
+8=4
,所以AE2+BF2為定值.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

雙曲線C與橢圓
x2
8
+
y2
4
=1
有相同的焦點(diǎn),直線y=
3
x
為C的一條漸近線.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)過點(diǎn)P(0,4)的直線l,交雙曲線C于A、B兩點(diǎn),交x軸于Q點(diǎn)(Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合),當(dāng)
PQ
=λ1
QA
=λ2
QB
,且λ1+λ2=-
8
3
時(shí),求Q點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知圓心為F1的圓的方程為(x+2)2+y2=32,F(xiàn)2(2,0),C是圓F1上的動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)2C的垂直平分線交F1C于M.
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)設(shè)N(0,2),過點(diǎn)P(-1,-2)作直線l,交M的軌跡于不同于N的A,B兩點(diǎn),直線NA,NB的斜率分別為k1,k2,證明:k1+k2為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知點(diǎn)A(1,0),拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F,射線FA與拋物線相交點(diǎn)M,與其準(zhǔn)線交于N,則|FM|:|MN|=______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),點(diǎn)A為左頂點(diǎn),點(diǎn)B為上頂點(diǎn),直線AB的斜率為
3
2
,又直線y=k(x-1)經(jīng)過橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)且與其相交于點(diǎn)M,N.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)將|MN|表示為k的函數(shù);
(Ⅲ)線段MN的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P,又點(diǎn)Q(1,0),求證:
|PQ|
|MN|
為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,橢圓Γ的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,過右焦點(diǎn)F(1,0)且垂直于橢圓對稱軸的弦MN的長為3.
(1)求橢圓Γ的方程;
(2)直線l經(jīng)過點(diǎn)O交橢圓Γ于P、Q兩點(diǎn),NP=NQ,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖所示,圓的直徑,為圓周上一點(diǎn),.過作圓的切線,過的垂線分別與直線、圓交于點(diǎn)、,則線段的長為            .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,已知,的兩條弦,,,,則的半徑等于________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,是的內(nèi)接三角形,PA是圓O的切線,切點(diǎn)為A,PB交AC于點(diǎn)E,交圓O于點(diǎn)D,PA=PE,,PD=1,DB=8.

(1)求的面積;
(2)求弦AC的長.

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同步練習(xí)冊答案