橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），點A為左頂點，點B為上頂點，直線AB的斜率為
3
2
，又直線y=k（x-1）經(jīng)過橢圓C的一個焦點且與其相交于點M，N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）將|MN|表示為k的函數(shù)；
（Ⅲ）線段MN的垂直平分線與x軸相交于點P，又點Q（1，0），求證：
|PQ|
|MN|
為定值．
（Ⅰ）如圖，

∵直線AB的斜率為
3
2
，
∴
b
a
=
3
2
，
又直線y=k（x-1）經(jīng)過橢圓C的一個焦點，
∴交點F（1，0）．
則
c=1
b
a
=
3
2
a2=b2+c2
，解得a2=4，b2=3．
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（Ⅱ）聯(lián)立
y=k(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
則x1+x2=
8k2
3+4k2
，x1x2=
4k2-12
3+4k2
．
∴|MN|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2

=
1+k2
(
8k2
3+4k2
)2-4•
4k2-12
3+4k2
=
12(1+k2)
3+4k2
．
（Ⅲ）證明：線段MN的中點的橫坐標為
x1+x2
2
=
4k2
3+4k2
，縱坐標為k•(
4k2
3+4k2
-1)=
-3k
3+4k2
．
∴線段MN的垂直平分線方程為y+
3k
3+4k2
=k(x-
4k2
3+4k2
)，
取y=0，得x=
k2
3+4k2
，
∴P（
k2
3+4k2
，0），
則|PQ|=1-
k2
3+4k2
=
3(1+k2)
3+4k2
．
則
|PQ|
|MN|
=
3(1+k2)
3+4k2
12(1+k2)
3+4k2
=
1
4
為定值．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

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如圖⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點，BM的延長線交⊙O于點N，過點N的切線交CA的延長線于P.
（1）求證：;
（2）若⊙O的半徑為，OA=OM,求MN的長.

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（1）證明：AE是圓的切線；
（2）如果，，求CD.

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已知雙曲線E：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的離心率為e，左、右兩焦點分別為F1、F2，焦距為2c，拋物線C以F2為頂點，F(xiàn)1為焦點，點P為拋物線與雙曲線右支上的一個交點，若a|PF2|+c|PF1|=8a2，則e的值為（　�。�
A．
3
B．3C．
2
D．
6

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斜率為1，過拋物線y=
1
4
x2的焦點的直線截拋物線所得的弦長為（　�。�
A．8B．6C．4D．10

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（1）若|AB|=10，求m的值；
（2）若OA⊥OB，求m的值．

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已知雙曲線的左右焦點F1，F(xiàn)2的坐標為（-4，0）與（4，0），離心率e=2．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知橢圓
x2
36
+
y2
20
=1，點P是雙曲線與橢圓兩曲線在第一象限的交點，求|PF1|•|PF2|的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知半橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1(y≥0)和半圓x2+y2=b2（y≤0）組成曲線C，其中a＞b＞0；如圖，半橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1(y≥0)內(nèi)切于矩形ABCD，且CD交y軸于點G，點P是半圓x2+y2=b2（y≤0）上異于A，B的任意一點，當點P位于點M(
6
3
，-
3
3
)時，△AGP的面積最大．
（1）求曲線C的方程；
（2）連PC、PD交AB分別于點E、F，求證：AE2+BF2為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，是圓的內(nèi)接三角行，的平分線交圓于點D，交BC于E，過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F，在上述條件下，給出下列四個結(jié)論：①BD平分；②；③；④.則所有正確結(jié)論的序號是（   ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④

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