Question

【題目】已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=loga（x+1）， ，記F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函數(shù)F（x）的定義域D及其零點(diǎn)；
（2）試討論函數(shù)F（x）在定義域D上的單調(diào)性；
（3）若關(guān)于x的方程F（x）﹣2m2+3m+5=0在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：F（x）=2f（x）+g（x）= （a＞0且a≠1）

要使函數(shù)有意義，則 ，解得﹣1＜x＜1，

∴函數(shù)F（x）的定義域?yàn)椋ī?，1）．

令F（x）=0，則 …（*）

方程變?yōu)? ，（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0

解得x1=0，x2=﹣3．

經(jīng)檢驗(yàn)x=﹣3是（*）的增根，∴方程（*）的解為x=0，

∴函數(shù)F（x）的零點(diǎn)為0

（2）解：由于函數(shù) 在定義域D上是增函數(shù)．可得：

①當(dāng)a＞1時(shí)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：函數(shù)f（x）=loga（x+1），

在定義域D上是增函數(shù)．

∴函數(shù)F（x）=2f（x）+g（x）在定義域D上是增函數(shù)．

②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：

函數(shù)f（x）=loga（x+1）， ，在定義域D上是減函數(shù)．

∴函數(shù)F（x）=2f（x）+g（x）在定義域D上是減函數(shù)

（3）解：?jiǎn)栴}等價(jià)于關(guān)于x的方程2m2﹣3m﹣5=F（x）在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解，

①當(dāng)a＞1時(shí)，由（2）知，函數(shù)F（x）在[0，1）上是增函數(shù)，

∴F（x）∈[0，+∞），

∴只需2m2﹣3m﹣5≥0，

解得：m≤﹣1，或 ．

②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由（2）知，函數(shù)F（x）在[0，1）上是減函數(shù)，

∴F（x）∈（﹣∞，0]，

∴只需2m2﹣3m﹣5≤0，

解得： ．

綜上所述，當(dāng)0＜a＜1時(shí)： ；

當(dāng)a＞1時(shí)，m≤﹣1，或

【解析】（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域即可的得出，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出函數(shù)的零點(diǎn)；（2）通過(guò)對(duì)a分類(lèi)討論，利用一次函數(shù)、反比例函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出復(fù)合函數(shù)F（x）的單調(diào)性；（3）利用（2）的函數(shù)F（x）的單調(diào)性可得其值域，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為即一元二次不等式的解集．
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)單調(diào)性的判斷方法是解答本題的根本，需要知道求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：①是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合;④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零；單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大�。虎圩鞑畋容^或作商比較．