Question

下列命題中：
①某中學(xué)高三（1）班有學(xué)生m人，現(xiàn)按座位號的編號采用系統(tǒng)抽樣的方法選取5名同學(xué)參加一項(xiàng)活動，已知座位號為5號、16號、27號、38號、49號的同學(xué)均被選出，則該班的學(xué)生人數(shù)m的取值范圍為[55，59]；
②有一個(gè)容量為200的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計(jì)，樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10，12）內(nèi)的頻數(shù)為20；
③已知圓C：x²+y²=12，直線l：4x+3y=25．圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率為

1

6

；
④已知回歸直線y=bx+a的回歸系數(shù)b的估計(jì)值是1.23，

.

y

=5，

.

x

=4，則回歸直線方程是y=1.23x+0.08．
正確命題的序號為：

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：頻率分布直方圖,線性回歸方程

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：①由系統(tǒng)抽樣方法知，將總體分成均衡的若干部分，分段的間隔要求相等，間隔一般為總體的個(gè)數(shù)除以樣本容量，據(jù)此可得答案；
②根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10，12）內(nèi)的頻率與頻數(shù)；
③畫出圖形，結(jié)合圖形求出圓心到直線l的距離以及半徑r，從而得出圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的圓弧，即可求出概率；
④由回歸直線y=bx+a過樣本的中心點(diǎn)（

.

x

，

.

y

），從而求得回歸直線方程．

解答： 解：對于①，按系統(tǒng)抽樣的方法，是將總體分成均衡的5部分，分段的間隔是11，∴總體個(gè)數(shù)m滿足：11×5≤m＜12×5，即55≤m＜60，①正確；
對于②，根據(jù)頻率分布直方圖得，樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10，12）內(nèi)的頻率為：1-（0.02+0.05+0.15+0.19）×2=0.18
∴頻數(shù)為200×0.18=36；∴②錯誤；
對于③，圓心（0，0）到直線l的距離d=

25

5

=5，半徑r=2

3

，如圖；
∵OC=5-2=3，∴OA=OB=2

3

，∴cos∠AOC=

3

2 3

=

3

2

，
∴∠AOC=

π

6

，∴∠AOB=2∠AOC=

π

3

；∴

AB

上的點(diǎn)到直線l的距離小于2，即圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率為

1

6

；∴③正確；
對于④，由回歸直線y=bx+a，求得a=

.

y

-b

.

x

=5-1.23×4=0.08，∴回歸直線方程是y=1.23x+0.08，∴④正確．
∴以上正確的命題是①③④．
故故答案為：①③④．

點(diǎn)評：本題考查了頻率分布直方圖以及概率的有關(guān)知識應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)對每一個(gè)選項(xiàng)認(rèn)真分析，從而選出正確的答案．