【題目】定義在上的函數(shù),如果對任意的,都有成立,則稱階伸縮函數(shù).

)若函數(shù)為二階伸縮函數(shù),且當(dāng)時(shí), ,求的值.

)若為三階伸縮函數(shù),且當(dāng)時(shí), ,求證:函數(shù)上無零點(diǎn).

)若函數(shù)階伸縮函數(shù),且當(dāng)時(shí), 的取值范圍是,求上的取值范圍.

【答案】(1)1;(2)證明見解析;(3) .

【解析】試題分析:)當(dāng)x(1,2]時(shí), ,從而f()=,由此能求出函數(shù)f(x)為二階伸縮函數(shù),由此能求出的值.

)當(dāng)x(1,3]時(shí), ,由此推導(dǎo)出函數(shù)在(1,+∞)上無零點(diǎn).

)當(dāng)x(kn,kn+1]時(shí), ,由此得到,當(dāng)x(kn,kn+1]時(shí),f(x)[0,kn),由此能求出f(x)在(0,kn+1](nN*)上的取值范圍是[0,kn).

試題解析:

(Ⅰ)由題設(shè),當(dāng)x∈(1,2]時(shí),,

∵函數(shù)f(x)為二階伸縮函數(shù),

∴對任意x∈(0,+∞),都有f(2x)=2f(x).

(Ⅱ)當(dāng)x∈(3m,3m+1](m∈N*)時(shí),

由f(x)為三階伸縮函數(shù),有f(3x)=3f(x)

∵x∈(1,3]時(shí),

,解得x=0或x=3m,它們均不在(3m,3m+1]內(nèi).

∴函數(shù)在(1,+∞)上無零點(diǎn).

(Ⅲ) 由題設(shè),若函數(shù)f(x)為k階伸縮函數(shù),有f(kx)=kf(x),

且當(dāng)x∈(1,k]時(shí),f(x)的取值范圍是[0,1).

∴當(dāng)x∈(kn,kn+1]時(shí),

,所以

∴當(dāng)x∈(kn,kn+1]時(shí),f(x)∈[0,kn).

當(dāng)x∈(0,1]時(shí),即0<x≤1,

k(k≥2,k∈N*)使,

∴1<kx≤k,即kx∈(1,k],∴f(kx)∈[0,1).

,∴,即

∵k≥2,

∴f(x)在(0,kn+1](n∈N*)上的取值范圍是[0,kn).

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.

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