Question

9．如圖所示，在△ABC中，∠BAC=60°，線段AD⊥平面ABC，AH⊥平面DBC，H為垂足．求證：H不可能是△BCD的垂心．

Answer 1

分析 證明“不可能”無(wú)法下手，從反面“可能”考慮，用反證法證明．

解答 證明：假設(shè)H是△BCD的垂心，則BH⊥CD．
∵AH⊥平面DBC，DC?平面DBC，∴AH⊥DC．
∵AH∩BH=H，∴CD⊥平面ABH．
又AB?平面ABH，∴CD⊥AB．
∵AD⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴AD⊥AB．
由于AD∩CD=D，∴AB⊥平面ACD．
∵AC?平面ACD，∴AB⊥AC．這與已知中∠BAC=60°相矛盾．
∴假設(shè)不成立．
故H不可能是△BCD的垂心

點(diǎn)評(píng) （1）“不可能”類型的問(wèn)題用反證法證明．“不可能”的反面是“可能”；（2）注意反證法的證題過(guò)程．實(shí)際上∠BAC只要不是90°，這個(gè)題型的方法總是一樣的．