Question

4．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，一條漸近線的傾斜角為$\frac{π}{3}$，點(diǎn)（-4，-6）在雙曲線上，直線1的方程為x-my-4=0．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若l與雙曲線的右支相交于A，B兩點(diǎn)，試證：以AB為直徑的圓M必與雙曲線的右準(zhǔn)線相交．

Answer 1

分析 （1）設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），由漸近線方程可得直線的斜率，由點(diǎn)滿足雙曲線方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到雙曲線方程；
（2）聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去x，得到y(tǒng)的方程，運(yùn)用判別式大于0，韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得AB的中點(diǎn)，求得雙曲線的右準(zhǔn)線方程，可得圓心到準(zhǔn)線的距離d，再由雙曲線的第二定義可得AB的長(zhǎng)，可得圓的半徑r，即可比較d，r的大小，即可得證．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
由題意可得$\frac{a}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，$\frac{16}{{a}^{2}}$-$\frac{36}{^{2}}$=1，
解得a=2，b=2$\sqrt{3}$，
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）證明：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的右焦點(diǎn)為（4，0），右準(zhǔn)線方程為x=1，
由直線x=my+4代入雙曲線的方程，可得
（3m²-1）y²+24my+36=0，
△＞0，即為（24m）²-4×36（3m²-1）＞0成立，
y₁+y₂=$\frac{24m}{1-3{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{36}{3{m}^{2}-1}$，
可得AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為$\frac{12m}{1-3{m}^{2}}$，
即有橫坐標(biāo)為x=$\frac{12{m}^{2}}{1-3{m}^{2}}$+4=$\frac{4}{1-3{m}^{2}}$＞0，
即有圓心M到準(zhǔn)線的距離為$\frac{4}{1-3{m}^{2}}$-1=$\frac{3+3{m}^{2}}{1-3{m}^{2}}$，
由雙曲線的第二定義可得|AB|=e（x₁-1+x₂-1）
=2（$\frac{8}{1-3{m}^{2}}$-2）=$\frac{12+12{m}^{2}}{1-3{m}^{2}}$，
由于3+3m²＜6+6m²，1-3m²＞0，
則有圓心M到準(zhǔn)線的距離小于$\frac{1}{2}$|AB|，
故以AB為直徑的圓M必與雙曲線的右準(zhǔn)線相交．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用漸近線方程和點(diǎn)滿足方程，考查直線和圓的位置關(guān)系，運(yùn)用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，考查雙曲線的第二定義和聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于中檔題．