Question

在直角坐標系中，定義兩點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之間的“直角距離”為d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．現有下列命題：
①已知P（1，3），Q（sin²α，cos²α）（α∈R），則d（P，Q）為定值；
②原點O到直線x-y+1=0上任一點P的直角距離d（O，P）的最小值為

2

2

；
③若|PQ|表示P、Q兩點間的距離，那么|PQ|≥

2

2

d（P，Q）；
④設A（x，y）且x∈Z，y∈Z，若點A是在過P（1，3）與Q（5，7）的直線上，且點A到點P與Q的“直角距離”之和等于8，那么滿足條件的點A只有5個．
其中的真命題是

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：綜合題,新定義,推理和證明

分析：先根據直角距離的定義分別表示出所求的問題的表達式，然后根據集合中絕對值的性質進行判定即可．

解答： 解：①已知P（1，3），Q（sin²α，cos²α）（α∈R），則d（P，Q）=|1-sin^2α|+|3-cos²α|=cos²α+2+sin²α=3為定值，正確；
②設P（x，y），O（0，0），則d（0，P）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|x|+|y|=|x|+|x+1|，表示數軸上的x到1和0的距離之和，其最小值為1，故不正確；
③若|PQ|表示P、Q兩點間的距離，那么|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

，d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，因為2（a²+b²）≥（a+b）²，所以|PQ|≥

2

2

d（P，Q），正確；
④過P（1，3）與Q（5，7）的直線方程為y=x+2，點A到點P與Q的“直角距離”之和等于8，則|x-1|+|y-3|+|x-5|+|y-7|=2|x-1|+2|x-5|=8，所以|x-1|+|x-5|=4，所以1≤x≤5，因為x∈Z，所以x=1，2，3，4，5，所以滿足條件的點A只有5個，正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查兩點之間的“直角距離”的定義，絕對值的意義，關鍵是明確P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）兩點之間的“直角距離”的含義．