Question

16．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，已知b=6，且（2c-a）cosB=bcosA，若△ABC的兩條中線AE、CF相交于點D，則四邊形BEDF的面積的最大值為3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理化簡已知條件，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式化簡，由sinC不為0，得到cosB的值，由B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到B的度數(shù)，由余弦定理及基本不等式可求S_△ABC的最大值，求出EF=$\frac{1}{2}$AC，EF∥AC，證相似求出△BEF的面積，求出△ACE的面積，求出△ADC的面積，根據(jù)相似求出△DEF的面積，相加即可得出答案．

解答 解：由已知及正弦定理得：（2sinC-sinA）cosB-sinBcosA=0，
即2sinCcosB-sin（A+B）=0，
在△ABC中，由sin（A+B）=sinC
故sinC（2cosB-1）=0，
由B，C∈（0，π），則2cosB-1=0，
所以B=60°；
所以由余弦定理可得：36=AB²+BC²-AB•BC≥2AB•BC-AB•BC=AB•BC，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC•sin60°≤9$\sqrt{3}$，
連接FE，
∵△ABC的中線為AE，CF，
∴FE=$\frac{1}{2}$AC，F(xiàn)E∥AC，
∴△BEF∽△CBA，
∵△ABC的面積的最大值為9$\sqrt{3}$，
∴$\frac{9\sqrt{3}}{{S}_{△BEF}}$=4，
∴S_△BEF的最大值為$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∵△DEF∽△ADC，
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{DE}{AD}=\frac{FD}{DC}=\frac{1}{2}$，
∵△ABC的面積最大值為9$\sqrt{3}$，AE為△ABC的中線，
∴△ACE的面積為$\frac{1}{2}$×9$\sqrt{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴△ADC的面積為：$\frac{2}{3}×$$\frac{9\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∵△DEF∽△ADC，
∴△DEF的面積S=$\frac{1}{4}$×3$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴四邊形DCEF的面積是$\frac{9\sqrt{3}}{4}$+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=3$\sqrt{3}$．
故答案為：3$\sqrt{3}$．

點評 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦定理及誘導(dǎo)公式化簡求值，靈活運(yùn)用三角形的面積公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡求值，掌握正弦函數(shù)的值域，考查三角形的中位線定理，三角形的面積，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出各個三角形的面積，屬于中檔題．