Question

某統(tǒng)計部門用“10分制”調(diào)查一社區(qū)人們對物業(yè)管理的“滿意度”．現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們的“滿意度”分數(shù)（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉）：
（Ⅰ）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，則稱該人的“滿意度”為“極滿意”．
（i）求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極滿意”的概率；
（ii）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記ξ表示“極滿意”的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,莖葉圖,古典概型及其概率計算公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）眾數(shù)：8.6；中位數(shù)：8.75．
（2）設(shè)A_i表示所取3人中有i個人是“極幸�！�，至多有1人是“極幸福”記為事件A，由互斥事件加法公式能求出結(jié)果．
（3）ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相對應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： （本題滿分13分）
解：（Ⅰ）眾數(shù)：8.6；中位數(shù)：8.75． …（2分）
（2）設(shè)A_i表示所取3人中有i個人是“極幸�！�，至多有1人是“極幸�！庇洖槭录嗀，
則P（A）=P（A₀）+P（A₁）=

C 3 12

C 3 16

+

C 1 4 C 2 12

C 3 16

=

121

140

．
（3）ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=（

3

4

）³=

27

64

，P（ξ=1）=

C

1 3

1

4

(

3

4

)2=

27

64

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

1

4

)2

3

4

=

9

64

，P（ξ=3）=（

1

4

）³=

1

64

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

Eξ=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

．

點評：本題考查眾數(shù)、中位數(shù)的求法，考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時要注意排列組合知識的合理運用．