Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²+x-a（a∈R）在區(qū)間[

2

，2]的最大值記為g（a），求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分a=0、a＞0、a＜0三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）在區(qū)間[

2

，2]的最大值g（a）．

解答： 解：①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x，它在區(qū)間[

2

，2]上的最大值為g（a）=f（2）=2．
②當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=

1

2

ax²+x-a的對(duì)稱軸為x=-

1

a

＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間[

2

，2]上是增函數(shù)，
它在區(qū)間[

2

，2]上的最大值為g（a）=f（2）=a+2．
③當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=

1

2

ax²+x-a的對(duì)稱軸為x=-

1

a

＞0，
若-

1

a

＜

2

，即a＜-

2

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[

2

，2]上是減函數(shù)，最大值為g（a）=f（

2

）=

2

．
若-

1

a

∈[

2

，2]即a∈（-

2

2

，-

1

2

）時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[

2

，2]上的最大值為g（a）=f（-

1

a

）=

-2a2-1

2a

．
若-

1

a

＞2，即0＞a＞-

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[

2

，2]上是增函數(shù)，最大值為g（a）=f（2）=a+2．
綜上可得，g（a）=

2 ，a=0 a+2 ，a＞0 -2a2-1 2a  ，- 2 2 ＜a＜- 1 2 2   ，a＜- 2 2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．