Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sinx+sin（x+

π

3

）．
（1）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；
（2）在△ABC中，設(shè)角A，B的對(duì)邊分別為a，b，若B=2A，且b=2af（A-

π

6

），求角C的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的圖象即可得出最小值，以及此時(shí)x的集合；
（2）利用正弦定理及第一問(wèn)的化簡(jiǎn)得到的解析式，將b=2af（A-

π

6

）變形，整理后求出tanA的值，確定出A的度數(shù)，進(jìn)而確定B的度數(shù)，即可確定出C的度數(shù)．

解答： 解：（1）f（x）=sinx+

1

2

sinx+

3

2

cosx=

3

2

sinx+

3

2

cosx=

3

（

3

2

sinx+

1

2

cosx）=

3

sin（x+

π

6

），
當(dāng)x+

π

6

=2kπ-

π

2

（k∈Z），即x=2kπ-

2π

3

（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最小值-

3

，
則f（x）的最小值為-

3

，此時(shí)x的集合為{x|x=2kπ-

2π

3

（k∈Z）}；
（2）∵b=2af（A-

π

6

）=2

3

asinA，
∴利用正弦定理化簡(jiǎn)得：sinB=2

3

sin²A，
將B=2A代入得：sin2A=2

3

sin²A，即2sinAcosA=2

3

sin²A，
∵sinA≠0，∴cosA=

3

sinA，即tanA=

3

3

，
∴A=

π

6

，B=2A=

π

3

，
則C=π-（A+B）=

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．