Question

15．已知函數(shù)y=log₂（4^x+1）-kx是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若f（x）＞log₂5-1，求x的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=log₂（a•2^x-$\frac{4}{3}$a），其中a＞0，若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個交點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)函數(shù)的奇偶性列式求出k的值；
（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式；
（3）運用函數(shù)與方程思想解題，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程$（a-1）{t^2}-\frac{4}{3}at-1=0$在$（\frac{4}{3}，+∞）$上只有一解．

解答 解：（1）∵$f（x）={log_2}（{4^x}+1）-kx\;\;（k∈R）$是偶函數(shù)，
∴$f（-x）={log_2}（{4^{-x}}+1）+kx=f（x）$對任意x∈R恒成立，
${log_2}（{4^x}+1）-2x+kx={log_2}（{4^x}+1）-kx$恒成立，
則2（k-1）x=0恒成立，因此，k=1；
$\begin{array}{l}（2）若{log_2}（{4^x}+1）-x＞{log_2}5-1則{log_2}\frac{{（{4^x}+1）}}{5}＞x-1\\ 所以\frac{{（{4^x}+1）}}{5}＞{2^{x-1}}，所以{4^x}-5×{2^{x-1}}+1＞0\\ 令t={2^x}則有{t^2}-\frac{5}{2}t+1＞0即2{t^2}-5t+2＞0…（4分）\\ 解得t＜\frac{1}{2}或t＞2…（5分）\\ 所以{2^x}＜\frac{1}{2}或{2^x}＞2\\ 所以x＜-1或x＞1…（6分）\end{array}$
（3）由于a＞0，所以$g（x）={log_2}（a•{2^x}-\frac{4}{3}a）$定義域為$（{log_2}\frac{4}{3}，+∞）$，也就是滿足${2^x}＞\frac{4}{3}$，
∵函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個交點，
∴方程${log_2}（{4^x}+1）-x={log_2}（a•{2^x}-\frac{4}{3}a）$在$（{log_2}\frac{4}{3}，+∞）$上只有一解
即：方程$\frac{{{4^x}+1}}{2^x}=a•{2^x}-\frac{4}{3}a$在$（{log_2}\frac{4}{3}，+∞）$上只有一解，令2^x=t，則$t＞\frac{4}{3}$，
因而問題等價為：關(guān)于t的方程$（a-1）{t^2}-\frac{4}{3}at-1=0$（*）在$（\frac{4}{3}，+∞）$上只有一解，
①當a=1時，解得$t=-\frac{3}{4}∉（\frac{4}{3}，+∞）$，不合題意；
②當0＜a＜1時，記$h（t）=（a-1）{t^2}-\frac{4}{3}at-1$，其圖象的對稱軸$t=\frac{2a}{3（a-1）}＜0$，
∴函數(shù)f（2m-mcosθ）+f（-1-sin²θ）＜f（0）在（0，+∞）上遞減，而h（0）=-1，
∴方程（*）在$（\frac{4}{3}，+∞）$無解；
③當a＞1時，記$h（t）=（a-1）{t^2}-\frac{4}{3}at-1$，其圖象的對稱軸$t=\frac{2a}{3（a-1）}＞0$，h（0）=-1，
 所以，只需$h（\frac{4}{3}）＜0$，即$\frac{16}{9}（a-1）-\frac{16}{9}a-1＜0$，此恒成立∴此時a的范圍為a＞1，
綜上所述，所求a的取值范圍為a＞1．

點評 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，運用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，以及函數(shù)圖象交點的確定，屬于中檔題．