Question

7．設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上兩點，若過點A，B且斜率分別為-$\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}$，-$\frac{{x}_{2}}{4{y}_{2}}$的兩直線交于點P，且直線OA與直線OB的斜率之積為-$\frac{1}{4}$，E（$\sqrt{6}$，0），則|PE|的最小值為2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 設(shè)出橢圓的參數(shù)方程，可得A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ），運用導數(shù)，得到切線AP，BP的方程，聯(lián)立求得交點P的坐標，x=$\frac{2（sinβ-sinα）}{sin（β-α）}$，y=$\frac{cosβ-cosα}{sin（α-β）}$，再由斜率之積為-$\frac{1}{4}$，得到cos（β-α）=0，sin（β-α）=±1，sin²（β-α）=1，即有P在橢圓（$\frac{x}{2}$）²+y²=2上，設(shè)P（2$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），求得|PE|，運用余弦函數(shù)的值域，即可得到最小值．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可設(shè)A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ），
對$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1兩邊對x取導數(shù)，可得$\frac{x}{2}$+2y•y′=0，即有切線的斜率為-$\frac{x}{4y}$，
由題意可得AP，BP均為橢圓的切線，A，B為切點，
則直線AP的方程為$\frac{x{x}_{1}}{4}$+yy₁=1，即為$\frac{xcosα}{2}$+ysinα=1，
同理可得直線BP的方程為$\frac{xcosβ}{2}$+ysinβ=1，
求得交點P的坐標為，x=$\frac{2（sinβ-sinα）}{sin（β-α）}$，y=$\frac{cosβ-cosα}{sin（α-β）}$，
即有（$\frac{x}{2}$）²+y²=$\frac{（sinβ-sinα）^{2}+（cosβ-cosα）^{2}}{si{n}^{2}（β-α）}$=$\frac{2-2cos（β-α）}{si{n}^{2}（α-β）}$，
由k_OA•k_OB=-$\frac{1}{4}$，可得$\frac{sinα}{2cosα}$•$\frac{sinβ}{2cosβ}$=-$\frac{1}{4}$，
即有cos（β-α）=0，sin（β-α）=±1，sin²（β-α）=1，
則（$\frac{x}{2}$）²+y²=2，即$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
設(shè)P（2$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），|PE|=$\sqrt{（2\sqrt{2}cosθ-\sqrt{6}）^{2}+（\sqrt{2}sinθ）^{2}}$
=$\sqrt{6co{s}^{2}θ-8\sqrt{3}cosθ+8}$=|$\sqrt{6}$cosθ$-2\sqrt{2}$|，
當cosθ=1時，|PE|_min=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$．

點評 本題考查橢圓的方程的運用，主要考查橢圓的參數(shù)方程的運用，注意運用三角函數(shù)的恒等變換和余弦函數(shù)的值域，考查運算化簡能力，屬于難題．