【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1 , y1),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x2 , y2),且x1≠x2 , y1≠y2 , 若P,Q為某個(gè)矩形的兩個(gè)頂點(diǎn),且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直,則稱該矩形為點(diǎn)P,Q的“相關(guān)矩形”,如圖為點(diǎn)P,Q的“相關(guān)矩形”示意圖.
(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),
①若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1),求點(diǎn)A,B的“相關(guān)矩形”的面積;
②點(diǎn)C在直線x=3上,若點(diǎn)A,C的“相關(guān)矩形”為正方形,求直線AC的表達(dá)式;
(2)⊙O的半徑為 ,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,3),若在⊙O上存在一點(diǎn)N,使得點(diǎn)M,N的“相關(guān)矩形”為正方形,求m的取值范圍.
【答案】
(1)
解:(1)①∵A(1,0),B(3,1)
由定義可知:點(diǎn)A,B的“相關(guān)矩形”的底與高分別為2和1,
∴點(diǎn)A,B的“相關(guān)矩形”的面積為2×1=2;
②由定義可知:AC是點(diǎn)A,C的“相關(guān)矩形”的對(duì)角線,
又∵點(diǎn)A,C的“相關(guān)矩形”為正方形
∴直線AC與x軸的夾角為45°,
設(shè)直線AC的解析為:y=x+m或y=﹣x+n
把(1,0)分別y=x+m,
∴m=﹣1,
∴直線AC的解析為:y=x﹣1,
把(1,0)代入y=﹣x+n,
∴n=1,
∴y=﹣x+1,
綜上所述,若點(diǎn)A,C的“相關(guān)矩形”為正方形,直線AC的表達(dá)式為y=x﹣1或y=﹣x+1;
(2)
解:設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b,
∵點(diǎn)M,N的“相關(guān)矩形”為正方形,
∴由定義可知:直線MN與x軸的夾角為45°,
∴k=±1,
∵點(diǎn)N在⊙O上,
∴當(dāng)直線MN與⊙O有交點(diǎn)時(shí),點(diǎn)M,N的“相關(guān)矩形”為正方形,
當(dāng)k=1時(shí),
作⊙O的切線AD和BC,且與直線MN平行,
其中A、C為⊙O的切點(diǎn),直線AD與y軸交于點(diǎn)D,直線BC與y軸交于點(diǎn)B,
連接OA,OC,
把M(m,3)代入y=x+b,
∴b=3﹣m,
∴直線MN的解析式為:y=x+3﹣m
∵∠ADO=45°,∠OAD=90°,
∴OD= OA=2,
∴D(0,2)
同理可得:B(0,﹣2),
∴令x=0代入y=x+3﹣m,
∴y=3﹣m,
∴﹣2≤3﹣m≤2,
∴1≤m≤5,
當(dāng)k=﹣1時(shí),把M(m,3)代入y=﹣x+b,
∴b=3+m,
∴直線MN的解析式為:y=x+3+m,
同理可得:﹣2≤3+m≤2,
∴﹣5≤m≤﹣1;
綜上所述,當(dāng)點(diǎn)M,N的“相關(guān)矩形”為正方形時(shí),m的取值范圍是:1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1
【解析】(1)①由相關(guān)矩形的定義可知:要求A與B的相關(guān)矩形面積,則AB必為對(duì)角線,利用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出該矩形的底與高的長(zhǎng)度,進(jìn)而可求出該矩形的面積;②由定義可知,AC必為正方形的對(duì)角線,所以AC與x軸的夾角必為45,設(shè)直線AC的解析式為;y=kx+b,由此可知k=±1,再(1,0)代入y=kx+b,即可求出b的值;
。2)由定義可知,MN必為相關(guān)矩形的對(duì)角線,若該相關(guān)矩形的為正方形,即直線MN與x軸的夾角為45°,由因?yàn)辄c(diǎn)N在圓O上,所以該直線MN與圓O一定要有交點(diǎn),由此可以求出m的范圍.
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(1)將學(xué)生編號(hào)為:001,002,003,……,499,500.若從第5行第5列的數(shù)開(kāi)始右讀,請(qǐng)你依次寫(xiě)出最先抽出的5個(gè)人的編號(hào)(下面是摘自隨機(jī)數(shù)表的第4行至第7行)
(2)若數(shù)學(xué)的優(yōu)秀率為,求的值;
(3)在語(yǔ)文成績(jī)?yōu)榱己玫膶W(xué)生中,已知,求數(shù)學(xué)成績(jī)“優(yōu)”比“良”的人數(shù)少的概率.
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