【題目】如圖，直三棱柱中，，，，，點(diǎn)在線(xiàn)段上.

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）若是中點(diǎn)，證明平面；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：以 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 ，（Ⅰ）分別求出向量的坐標(biāo)根據(jù)可得結(jié)果；（Ⅱ）求出平面 的法向量，利用向量法能證明 平面 ；（Ⅲ）求出平面 的法向量和平面 的法向量，利用空間向量法夾角余弦公式能求出二面角 的余弦值.

試題解析：（Ⅰ）證明：如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，.

，，

，所以.

（Ⅱ）解法一：

設(shè)平面的法向量，

由，

且，

令得，

所以，

又平面，所以平面；

解法二：證明：連接，交于，.

因?yàn)橹比庵?/span>，是中點(diǎn)，

所以側(cè)面為矩形，為的中位線(xiàn).

所以，

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

設(shè)，

因?yàn)辄c(diǎn)在線(xiàn)段上，且，即.

所以，，.

所以，.

平面的法向量為.

設(shè)平面的法向量為，

由，，得，

所以，，.

設(shè)二面角的大小為，

所以.

所以二面角的余弦值為.

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【題目】己知圓的圓心在直線(xiàn)上，且過(guò)點(diǎn)，與直線(xiàn)相切．

（）求圓的方程．

（）設(shè)直線(xiàn)與圓相交于，兩點(diǎn)．求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（）在（）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得弦的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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【題目】“五一”假期期間，某餐廳對(duì)選擇、、三種套餐的顧客進(jìn)行優(yōu)惠。對(duì)選擇、套餐的顧客都優(yōu)惠10元，對(duì)選擇套餐的顧客優(yōu)惠20元。根據(jù)以往“五一”假期期間100名顧客對(duì)選擇、、三種套餐的情況得到下表：

選擇套餐種類(lèi)

選擇每種套餐的人數(shù)

50

25

25

將頻率視為概率.

（I）若有甲、乙、丙三位顧客選擇某種套餐，求三位顧客選擇的套餐至少有兩樣不同的概率；

（II）若用隨機(jī)變量表示兩位顧客所得優(yōu)惠金額的綜合，求的分布列和期望。

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【題目】氣象意義上，從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為：“連續(xù)5天的日平均溫度不低于22℃”.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：

①甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；

②乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體均值為24；

③丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中有一個(gè)數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8；

則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)的有（ ）

A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①

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【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的最小值；

（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)，，使得成立，求的范圍.

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【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分別為AC，AD的中點(diǎn)，連接BM，MN，BN．

（1）求證：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的長(zhǎng)．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1 ， y1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x2 ， y2），且x1≠x2 ， y1≠y2 ， 若P，Q為某個(gè)矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱(chēng)該矩形為點(diǎn)P，Q的“相關(guān)矩形”，如圖為點(diǎn)P，Q的“相關(guān)矩形”示意圖．

（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），
①若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），求點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積；
②點(diǎn)C在直線(xiàn)x=3上，若點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線(xiàn)AC的表達(dá)式；
（2）⊙O的半徑為 ，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，3），若在⊙O上存在一點(diǎn)N，使得點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，求m的取值范圍．

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（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面積．

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