【題目】已知橢圓的焦距為4，且過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設為橢圓上一點，過點作軸的垂線，垂足為，取點，連接，過點作的垂線交軸于點，點是點關于軸的對稱點，作直線，問這樣作出的直線是否與橢圓一定有唯一的公共點？并說明理由.

【答案】(1) (2) 直線與橢圓一定有唯一的公共點，見解析

【解析】

（1）根據題意得到關于、的方程組，解得.

（2）由題意，點坐標為，設，由知，求出，根據對稱表示出點坐標，即可表示出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程消元可得.

解：（1）因為焦距為4，所以，又因為橢圓過點，

所以，故，，從而橢圓的方程為

已知橢圓的焦距為4，且過點.

（2）由題意，點坐標為，設，則，，再由知，，即.

由于，故，因為點是點關于軸的對稱點，所以點.

故直線的斜率.

又因在橢圓上，所以.①

從而，故直線的方程為②

將②代入橢圓方程，得

③

再將①代入③，化簡得：

解得，，即直線與橢圓一定有唯一的公共點.

練習冊系列答案
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（參考數(shù)據：，，，，）

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