Question

若f(x)=sin(2ωx-

π

6

)的圖象關(guān)于直線x=

π

3

對稱，其中ω∈(-

1

2

，

5

2

)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將y=f（x）的圖象向左平移

π

3

個單位，再將得到的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）后得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求y=g（x）的解析式；
（3）若函數(shù)y=g（x）（x∈(

π

2

，3π)）的圖象與y=a的圖象有三個交點且交點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,數(shù)列的應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意可得2ω•

π

3

-

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，求得ω的值，可得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得函數(shù)g（x）的解析式．
（3）設(shè)函數(shù)g（x）的圖象與y=a的圖象有三個交點的橫坐標(biāo)為：（x₁，a），（x₂，a），（x₃，a），且

π

2

＜x1＜x2＜x3＜3π．結(jié)合圖象的對稱性有

x 2 2 =x1x3 x1+x2=2π x2+x3=4π

，解得x2=

4π

3

，從而求得a的值．

解答： 解：（1）∵f(x)=sin(2ωx-

π

6

)的圖象關(guān)于直線x=

π

3

對稱，
∴2ω•

π

3

-

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，
解得ω=

3k

2

+1(k∈Z)．
又∵ω∈(-

1

2

，

5

2

)，
∴k=0，ω=1，
∴f(x)=sin(2x-

π

6

)．
（2）將f(x)=sin(2x-

π

6

)的圖象向左平移

π

3

個單位后，得到的圖象的函數(shù)解析式為y=cos2x，
再將y=cos2x圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍后得到y(tǒng)=g（x）的圖象，所以g（x）=cosx．
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=cosx（x∈(

π

2

，3π)）的圖象與y=a的圖象有三個交點的橫坐標(biāo)為：
（x₁，a），（x₂，a），（x₃，a），且

π

2

＜x1＜x2＜x3＜3π．
則由已知，結(jié)合圖象的對稱性有

x 2 2 =x1x3 x1+x2=2π x2+x3=4π

，解得x2=

4π

3

，
∴a=cos

4π

3

=-

1

2

．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的對稱性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．