Question

已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx，x∈R．
（Ⅰ）求f（

π

12

）的值；
（Ⅱ）試寫出一個函數(shù)g（x），使得g（x）f（x）=cos2x，并求g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）把函數(shù)解析式提取

2

后利用兩角和的正弦化積，然后直接取x=

π

12

求得f（

π

12

）的值；
（Ⅱ）由二倍角的余弦公式可知g（x）=cosx-sinx，化積后利用余弦型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
∴f(

π

12

)=

2

sin(

π

12

+

π

4

)=

2

sin

π

3

=

6

2

；
（Ⅱ）g（x）=cosx-sinx．
下面給出證明：
∵g（x）f（x）=（cosx-sinx）（sinx+cosx）=cos²x-sin²x=cos2x，
∴g（x）=cosx-sinx符合要求．
又∵g（x）=cosx-sinx=

2

cos(x+

π

4

)，
由2kπ+π＜x+

π

4

＜2kπ+2π，得2kπ+

3π

4

＜x＜2kπ+

7π

4

，
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(2kπ+

3π

4

，2kπ+

7π

4

)，k∈Z．
又由2kπ＜x+

π

4

＜2kπ+π，得2kπ-

π

4

＜x＜2kπ+

3π

4

，
∴g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

)，k∈Z．

點(diǎn)評：本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、兩角和與差三角公式、二倍角公式、三角函數(shù)的恒等變換等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等．是中檔題．