Question

設(shè)函數(shù)f_n=1-x+

x2

2

-

x3

3

+…+（-1）ⁿ

xn

n

，其中n為正整數(shù)，則集合M={x|f₄（x）=0，x∈R}中元素個數(shù)是（　　）

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、4個

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先把f₄（x）求出來，求集合M={x|f₄（x）=0，x∈R}中元素個數(shù)即為判斷方程f₄（x）=0的根的個數(shù)問題，因?yàn)槭且粋�四次方程，所以可以通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f₄（x）的單調(diào)性、極值等，再結(jié)合該函數(shù)圖象解決問題．

解答： 解：由已知得f₄=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

1

4

x4，
∴f′（x）=x³-x²+x-1=（x-1）（x²+1），
∵當(dāng)x＜1時，f′（x）＜0，此時原函數(shù)是減函數(shù)；當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，此時原函數(shù)是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=

5

12

，
∴f₄（x）≥

5

12

恒成立，
∴f₄（x）=0，x∈R無實(shí)根．
故選A

點(diǎn)評：方程的根的個數(shù)及其所在范圍的判斷問題，一般轉(zhuǎn)化為其所對應(yīng)的函數(shù)的零點(diǎn)問題，往往借助于導(dǎo)數(shù)先研究其單調(diào)性、極值、最值等涉及圖象要素的性質(zhì)，再借助于函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系求解．