Question

對(duì)于具有相同定義域D的函數(shù)f（x）和g（x），若存在函數(shù)h（x）=kx+b（k，b為常數(shù)），對(duì)任給的正數(shù)m，存在相應(yīng)的x₀∈D，使得當(dāng)x∈D且x＞x₀時(shí)，總有

|f(x)-h(x)|＜m |g(x)-h(x)|＜m

，則稱直線l：y=kx+b為曲線y=f（x）與y=g（x）的“公共漸近線”，給出定義域均為D={x|x＞1}的四組函數(shù)如下：
①f（x）=2^-x+3，g（x）=

3x+1

x

；
②f（x）=

x2+1

x

，g（x）=

x2-1

；
③f（x）=

2x2

x+1

，g（x）=2（x-1-e^-x）；
④f（x）=log₂x，g（x）=2^x．
其中曲線y=f（x）與y=g（x）存在“公共漸近線”的是（　　）

• A、①②③
• B、②③④
• C、①②④
• D、①③④

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)的性質(zhì)與圖象

專題：壓軸題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：f（x）和g（x）存在公共漸近線的充要條件是x→+∞時(shí)，f（x）-g（x）→0，據(jù)此逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可．

解答： 解：f（x）和g（x）存在公共漸近線的充要條件是x→+∞時(shí)，f（x）-g（x）→0．
對(duì)于①f（x）=2^-x+3，g（x）=

3x+1

x

，f（x）-g（x）=2^-x+3-

3x+1

x

=2^-x-

1

x

，當(dāng)x→+∞時(shí)f（x）-g（x）→0，所以①存在公共漸近線；
對(duì)于②f（x）=

x2+1

x

，g（x）=

x2-1

，f（x）-g（x）=

1

x+ x2-1

+

1

x

，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）-g（x）→0，∴②存在公共漸近線．
對(duì)于③f（x）=

2x2

x+1

，g（x）=2（x-1-e^-x），當(dāng)x→0時(shí)，f（x）-g（x）=

2x2

x+1

-2（x-1-e^-x）=

-2

1+ 1 x

+2+

2

ex

→0，因此③存在公共漸近線．
對(duì)于④log₂x，g（x）=2^x，由圖象可知不存在公共漸近線；
存在公共漸近線的是①②③，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題從大學(xué)函數(shù)極限定義的角度出發(fā)，仿造構(gòu)造了公共漸近線函數(shù)，目的是考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，考生需要抓住本質(zhì)：存在公共漸近線的充要條件是x→∞時(shí)，f（x）-g（x）→0進(jìn)行作答，是一道好題，思維靈活，要透過現(xiàn)象看本質(zhì)．本題較難，涉及到部分大學(xué)內(nèi)容，屬于拓展類題目