Question

【題目】已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為，其離心率，焦距為4．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn)，且滿足∥，∥，，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）.

【解析】

（Ⅰ）由已知，，求出,，即可得到橢圓的方程；

（Ⅱ）由滿足∵∥，∥，，可得直線垂直相交于點(diǎn)．1，由（1）橢圓方程），F(xiàn)1（-2，0）．
①直線AC，BD有一條斜率不存在時(shí)，|．
②直線斜率均存在，則斜率均不為0，不妨設(shè)方程

聯(lián)立，得．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：，把代入上式可得：，可得|，即可得出．

（Ⅰ）由已知，，∴，∴

故，橢圓方程為。

（Ⅱ）∵∥，∥，，∴直線垂直相交于點(diǎn)．

①直線有一條斜率不存在時(shí)，

②直線斜率均存在，則斜率均不為0，不妨設(shè)方程

聯(lián)立，得

設(shè)，則

．把代入上式可得：，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取等號(hào)

綜上可得：的最小值為．