已知函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為．
（Ⅰ）求實數(shù)的值；
（Ⅱ）判斷方程根的個數(shù)，證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）探究：是否存在這樣的點，使得曲線在該點附近的左、右的兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側(cè)？若存在，求出點A的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（1）
（2）方程有且只有一個實根．
（3）存在唯一點使得曲線在點附近的左、右兩部分分別
位于曲線在該點處切線的兩側(cè)．

解析試題分析：解法一：（Ⅰ）因為，所以，
函數(shù)的圖象在點處的切線斜率．
由得：．                    4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令．
因為，，所以在至少有一個根．
又因為，所以在上遞增，
所以函數(shù)在上有且只有一個零點，即方程有且只有一
個實根．                         7分
（Ⅲ）證明如下：
由，，可求得曲線在點處的切
線方程為，
即．                    8分
記
，
則．               11分
（1）當(dāng)，即時，對一切成立，
所以在上遞增．
又，所以當(dāng)時，當(dāng)時，
即存在點，使得曲線在點A附近的左、右兩部分分別位于曲線
在該點處切線的兩側(cè)．                   12分
（2）當(dāng)，即時，
時，；時，；
時，．
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，
即曲線在點附近的左、右兩部分都位于曲線在該點處切線的
同側(cè)．                                   13分
（3）當(dāng)，即

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，（其中，），且函數(shù)的圖象在點處的切線與函數(shù)的圖象在點處的切線重合．
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若，滿足，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）若，試探究與的大小，并說明你的理由．

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已知 函數(shù)
（1）已知任意三次函數(shù)的圖像為中心對稱圖形,若本題中的函數(shù)圖像以為對稱中心,求實數(shù)和的值
（2）若,求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值

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設(shè)函數(shù).
（1）若,試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）過坐標(biāo)原點作曲線的切線，證明:切點的橫坐標(biāo)為1；
（3）令，若函數(shù)在區(qū)間（0，1］上是減函數(shù)，求的取值范圍.

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已知函數(shù)在點處取得極小值－4，使其導(dǎo)數(shù)的的取值范圍為，求：
（1）的解析式；
（2），求的最大值；

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函數(shù)
（1）若，證明；
（2）若不等式時和都恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

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已知函數(shù)在點處取得極小值－4，使其導(dǎo)數(shù)的的取值范圍為，求：
（1）的解析式；
（2），求的最大值；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為實數(shù)，.
（Ⅰ）若在區(qū)間［-1，1］上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經(jīng)過點且與曲線相切的直線的方程；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)的極值點個數(shù)。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知，，直線與函數(shù)、的圖象都相切，且與函數(shù)的圖象的切點的橫坐標(biāo)為.
(Ⅰ)求直線的方程及的值；
(Ⅱ)若(其中是的導(dǎo)函數(shù))，求函數(shù)的最大值；
(Ⅲ)當(dāng)時，求證：.

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