Question

5．若函數(shù)f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+a在R上存在三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． a＞$\sqrt{2}$
• B． a＞$\sqrt{2}$或a＜-$\sqrt{2}$
• C． a＜-$\sqrt{2}$
• D． a＜-1

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)函數(shù)f（x）有三個(gè)相異的零點(diǎn)，可得函數(shù)f（x）的極大值與極小值異號(hào)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的極大值與極小值，從而可得不等式，故可求實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答 解：∵函數(shù)f（x）=）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+a在x∈R上有三個(gè)零點(diǎn)，
∴函數(shù)f（x）的極大值與極小值異號(hào)．
∵f′（x）=3x²-3ax
∴f′（x）=0時(shí)，x=0或x=a
∴f（0）×f（a）=a（a³-$\frac{3}{2}$a³+a）＜0，
∴1-$\frac{1}{2}{a}^{2}$＜0，
∴a＞$\sqrt{2}$，或a＜$-\sqrt{2}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，將函數(shù)f（x）有三個(gè)相異的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的極大值與極小值異號(hào)是解題的關(guān)鍵．