【題目】已知正邊長為3,點M,N分別是AB,AC邊上的點,,如圖1所示.將沿MN折起到的位置,使線段PC長為連接PB,如圖2所示.
(1)求證:平面平面BCNM;
(2)若點D在線段BC上,且,求平面PDM和平面PDC所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(Ⅰ)推導(dǎo)出AN⊥MN,即PN⊥MN,PN⊥NC,從而PN⊥平面BCNM,由此能證明平面PMN⊥平面BCNM.
(Ⅱ)以N為坐標(biāo)原點,NM為x軸,NC為y軸,NP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角M﹣PD﹣C的余弦值.
解:(I)證明:依題意,在中,,,,
由余弦定理,,
解得
根據(jù)勾股定理得,
∴,即,
在圖2中,,,,
∴,
∴,
∵,
∴平面BCNM,
∵平面PMN,
∴平面平面.
(2)解:以N為坐標(biāo)原點,NM為x軸,NC為y軸,NP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
∴,,
,,
設(shè)平面MPD的一個法向量),
則,取,
得,
設(shè)平面PDC的法向量,
則,
取,得,
設(shè)所求角為
∴
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A、B分別為橢圓E:(a>1)的左、右頂點,G為E的上頂點,,P為直線x=6上的動點,PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D.
(1)求E的方程;
(2)證明:直線CD過定點.
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【題目】某大學(xué)安排4名畢業(yè)生到某企業(yè)的三個部門實習(xí),要求每個部門至少安排1人,其中甲大學(xué)生不能安排到部門工作,安排方法有______種用數(shù)字作答.
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【題目】已知橢圓:的短軸長為2,離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點且不過點的直線與橢圓交于,兩點,直線與直線交于點.
(i)若軸,求直線的斜率;
(ii)判斷直線與直線的位置關(guān)系,并說明理由.
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【題目】隨著智能手機(jī)的普及,手機(jī)計步軟件迅速流行開來,這類軟件能自動記載每個人每日健步的步數(shù),從而為科學(xué)健身提供一定的幫助.某市工會為了解該市市民每日健步走的情況,從本市市民中隨機(jī)抽取了2000名市民(其中不超過40歲的市民恰好有1000名),利用手機(jī)計步軟件統(tǒng)計了他們某天健步的步數(shù),并將樣本數(shù)據(jù)分為,,,,,,,,九組(單位;千步),將抽取的不超過40歲的市民的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖如圖,將40歲以上的市民的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻數(shù)分布表如下,并利用該樣本的頻率分布估計總體的概率分布.
分組(單位 千步) | |||||||||
頻數(shù) | 10 | 20 | 20 | 30 | 400 | 200 | 200 | 100 | 20 |
(1)現(xiàn)規(guī)定,日健步步數(shù)不低于13000步的為“健步達(dá)人”,填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有99.9%的把握認(rèn)為是否為“健步達(dá)人”與年齡有關(guān);
健步達(dá)人 | 非健步達(dá)人 | 總計 | |
40歲以上的市民 | |||
不超過40歲的市民 | |||
總計 |
(2)利用樣本平均數(shù)和中位數(shù)估計該市不超過40歲的市民日健步步數(shù)(單位:千步)的平均數(shù)和中位數(shù);
(3)若日健步步數(shù)落在區(qū)間內(nèi),則可認(rèn)為該市民”運(yùn)動適量”,其中,分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差,計算可求得頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差約為3.64.若一市民某天的健步步數(shù)為2萬步,試判斷該市民這天是否“運(yùn)動適量”?
參考公式:
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】已知函數(shù)f(x)sincos(ω>0),如果存在實數(shù)x0,使得對任意的實數(shù)x,都有f(x0﹣2020)≤f(x)≤f(x0)成立,則ω的最大值為( )
A.2020B.4040C.1010D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求在處的切線方程;
(2)當(dāng)時,討論的單調(diào)性;
(3)若有兩個極值點、,且不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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